Abi Bayern Probeabitur Analysis A2

Aufgabe

Aufgabe 1

Gegeben ist die Funktion

1. Geben Sie und sowie an.
   (2 BE)
2. Untersuchen Sie, ob Punkte mit waagrechter Tangente besitzt.
   (3 BE)

Aufgabe 2

Gegeben ist die auf ganz definierte Funktion . Der Graph von wird mit bezeichnet

1. Charakterisieren Sie die einzige Nullstelle von .
   (1 BE)
2. Ermitteln Sie das Krümmungsverhalten von und die Koordinaten seiner Wendepunkte.
   (3 BE)
3. Begründen Sie, dass mit Ausnahme des Extrempunktes vollständig oberhalb der -Achse verläuft.
   (1 BE)

Aufgabe 3

Gegeben ist die auf ganz definierte Funktion .

1. Ermitteln Sie alle Nullstellen von .
   (2 BE)
2. Zeigen Sie, dass
   eine Stammfunktion von ist und berechnen Sie den Wert des Integrals .
   (4 BE)

Aufgabe 4

Die Abbildung zeigt den Graphen einer auf ganz definierten Funktion mit

1. Ermitteln Sie einen Funktionsterm von .
   (2 BE)
2. Skizzieren Sie in diese Abbildung den Graphen der zugehörigen Ableitungsfunktion .
   (2 BE)

Lösung

Lösung zu Aufgabe 1

1. Maximaler Definitionsbereich

   Eine Definitionslücke der Funktion

   liegt vor, wenn der Nenner Null wird:
   Der maximale Definitionsbereich ist

   Bestimmung von

   Es gilt:

   Deshalb existieren die beiden Grenzwerte im Zähler und im Nenner und es folgt
   

   Bestimmung von

   Der Funktionsterm wird umgeformt, um den Grenzwert einfacher erkennen zu können. Es gilt:

   Aus folgt

   Alternativer Weg
   Der Funktionsterm wird umgeformt, um den Grenzwert einfacher erkennen zu können. Es gilt:

   Aus folgt
   und damit:

2. Der Graph besitzt einen Punkt mit waagrechter Tangente, wenn die Gleichung eine Lösung für besitzt. Die Ableitung der Funktion lässt sich zum Beispiel mit der Quotientenregel bestimmen. Es gilt:

   Für alle gilt
   und folglich , sodass der Graph im gesamten Definitionsbereich streng monoton fallend ist. Der Graph besitzt keinen Punkt mit waagrechter Tangente.

Lösung zu Aufgabe 2

1. Die Nullstellen von sind die Lösungen der Gleichung . Also die Lösungen der Gleichung:

   Nach dem Satz vom Nullprodukt ist ein Produkt genau dann Null, wenn einer der Faktoren Null ist. Also
   Die Funktion besitzt eine doppelte Nullstelle an der Stelle und dies ist folglich eine Extremstelle von .

2. Krümmungsverhalten

   Um das Krümmungsverhalten von zu untersuchen, wird die zweite Ableitungsfunktion von bestimmt. Die Ableitungen und von lassen sich nach Ausmultiplizieren des Funktionsterm bestimmen. Es gilt:

   und damit:
   Zunächst werden die Nullstellen von untersucht. Es gilt:
   Nach dem Satz vom Nullprodukt ist ein Produkt genau dann Null, wenn einer der Faktoren Null ist. Die Nullstellen von sind also gegeben durch:
   Außerdem gelten:
   Der Graph ist also linksgekrümmt für oder und rechtsgekrümmt für .

   Wendepunkte

   Die Nullstellen der zweiten Ableitung wurden bereits bestimmt:

   Weil die zweite Ableitung an diesen Stellen das Vorzeichen wechselt, besitzt der Graph dort Wendepunkte.

   Wegen

   sind die Koordinaten der Wendepunkte

3. Eine Vorzeichenanalyse des Funktionsterms zeigt, dass sowohl für als auch für gilt: . Alle Punkte von mit Ausnahme des Tiefpunktes liegen oberhalb der -Achse.

Lösung zu Aufgabe 3

1. Um die Nullstellen von zu berechnen, werden die Lösungen der folgenden Gleichung bestimmt:

   Weil der Funktionsterm ein Produkt ist, kann wieder der Satz vom Nullprodukt angewendet werden Die Nullstellen von sind gegeben durch und die Lösungen der Gleichung:
   Die Gleichung lässt sich durch die Substitution lösen. Alle Nullstellen von sind mit , also alle ganzzahligen Vielfachen von .

   Ersetzt man nun rückwärts durch und dividiert durch , dann sind mit alle Nullstellen von .

   Die Menge der Nullstellen von sind die ganzen Zahlen.

2. Nachweis der Stammfunktion

   Die Funktion ist eine Stammfunktion von , falls für alle gilt. Die Ableitungsfunktion von ist gegeben durch

   für alle und damit ist die Funktion eine Stammfunktion von .

   Berechnung des Integrals

   Falls eine Stammfunktion von ist, gilt:

   Die Funktion
   ist eine Stammfunktion von und damit gilt:

Lösung zu Aufgabe 4

1. Der Schnittpunkt des Graphen mit der -Achse ist laut Abbildung . Es gilt:

   und damit
   Die Periode der Funktion lässt sich aus der Abbildung als Spannweite zwischen zwei Maxima oder Minima ablesen und beträgt . Es gilt:
   Die Amplitude ist der halbe Abstand der -Werte zwischen einem Maximum und einem Minimum des Graphen.
   Aus der Zeichnung können die Extrempunkte und abgelesen werden, sodass sich für der Wert
   ergibt. Der Funktionsterm von ist gegeben durch:

2. Für die erste Ableitungsfunktion von gilt mithilfe der Kettenregel:

   Die Periode der Funktion ist dieselbe wie die von , die Amplitude ist . Die folgende Abbildung zeigt und (gestrichelte Linie): Die folgende Abbildung zeigt und (gestrichelte Linie):

   Alternativer Weg
   Mithilfe der Kenntnisse über die Zusammenhänge zwischen dem Graphen einer Funktion und dem Graphen seiner ersten Ableitungsfunktion ist es möglich, den Graphen zu skizzieren:

   • An den Hochpunkten von besitzt eine Nullstelle mit Vorzeichenwechsel von nach
   • An den Tiefpunkten von besitzt eine Nullstelle mit Vorzeichenwechsel von nach
   • Jede Wendestelle von ist eine Extremstelle von

   Die folgende Abbildung zeigt und (gestrichelte Linie):