Abi Bayern 2018 Stochastik B2

Aufgabe

Aufgabe 1

Ein Unternehmen stellt Kunststoffteile her. Erfahrungsgemäß sind der hergestellten Teile fehlerhaft. Die Anzahl fehlerhafter Teile unter zufällig ausgewählten kann als binomialverteilt angenommen werden.

1. 50 Kunststoffteile werden zufällig ausgewählt. Bestimmen Sie für die folgenden Ereignisse jeweils die Wahrscheinlichkeit:
   • "Genau zwei der Teile sind fehlerhaft."
   • "Mindestens der Teile sind fehlerhaft."
     (3 BE)

Die Kunststoffteile werden aus Kunststoffgranulat hergestellt. Nach einem Wechsel des Granulats vermutet der Produktionsleiter, dass sich der Anteil der fehlerhaften Teile reduziert hat. Um einen Anhaltspunkt dafür zu gewinnen, ob die Vermutung gerechtfertigt ist, soll die Nullhypothese "Der Anteil der fehlerhaften Teile beträgt mindestens ". auf der Grundlage einer Stichprobe von 200 Teilen auf einem Signifikanzniveau von getestet werden.

2. Bestimmen Sie die zugehörige Entscheidungsregel.
   (4 BE)
3. Das neue Granulat ist teurer als das vorherige. Geben Sie an, welche Überlegung zur Wahl der Nullhypothese geführt haben könnte, und begründen Sie Ihre Angabe.
   (3 BE)

Aufgabe 2

Für ein Spiel wird ein Glücksrad verwendet, das drei farbige Sektoren hat. Der Tabelle können die Farben der Sektoren und die Größen der zugehörigen Mittelpunktswinkel entnommen werden.

Für einen Einsatz von 5 Euro darf ein Spieler das Glücksrad dreimal drehen. Erzielt der Spieler dreimal die gleiche Farbe, werden ihm 10 Euro ausgezahlt. Erzielt er drei verschiedene Farben, wird ein anderer Betrag ausgezahlt. In allen anderen Fällen erfolgt keine Auszahlung.

1. Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass dreimal die gleiche Farbe erzielt wird, ist . Zeigen Sie, dass die Wahrscheinlichkeit dafür, dass drei verschiedene Farben erzielt werden, ebenfalls beträgt.

   (2 BE)

2. Bei dem Spiel ist zu erwarten, dass sich die Einsätze der Spieler und die Auszahlungen auf lange Sicht ausgleichen. Berechnen Sie den Betrag, der ausgezahlt wird, wenn drei verschiedene Farben erscheinen.

   (3 BE)

3. Die Größen der Sektoren werden geändert. Dabei werden der grüne und der rote Sektor verkleinert, wobei der Mittelpunktswinkel des roten Sektors wieder doppelt so groß wie der des grünen Sektors ist. Die Abbildung zeigt einen Teil eines Baumdiagramms, das für das geänderte Glücksrad die beiden ersten Drehungen beschreibt. Ergänzend ist für einen Pfad die zugehörige Wahrscheinlichkeit angegeben.

   Bestimmen Sie die Größe des zum grünen Sektor gehörenden Mittelpunktswinkels.

   (5 BE)

Lösung

Lösung zu Aufgabe 1

1. Laut Aufgabenstellung gilt für die Wahrscheinlichkeit , dass ein Teil fehlerhaft ist:
   Damit können die Wahrscheinlichkeiten für die beiden Ereignisse und mithilfe eines Tafelwerks bestimmt werden. Es gilt:
2. Die Nullhypothese lautet:
   Der Stichprobenumfang beträgt und das Signifikanzniveau . Gesucht ist also der größte Wert von , so dass gilt:
   Aus dem Tafelwerk kann abgelesen werden:
   Wenn mindestens 4 Teile fehlerhaft sind, wird die Hypothese als bestätigt angesehen, falls höchstens 3 Teile fehlerhaft sind, wird sie verworfen.
3. Er möchte das teurere Granulat nur dann kaufen, wenn es auch wirklich besser als das günstigere ist.

Lösung zu Aufgabe 2

1. Die Wahrscheinlichkeit , dass 3 unterschiedliche Farben erdreht werden, gilt:
2. Sei Zufallsvariable für Gewinn und der Gewinn in Euro beim Erdrehen dreier unterschiedlicher Farben, dann gilt für den Erwartungswert des Gewinns:
   Der Einsatz beträgt 5 Euro und damit ist das Spiel auf lange Sicht ausgeglichen ist, muss gelten:
3. Falls die Wahrscheinlichkeit, den grünen Sektor zu erdrehen bei liegt, dann ist die Wahrscheinlichkeit für den roten Sektor und damit gilt:
   beziehungsweise:
   also
   also
   Zu Beginn war der grüne Sektor groß, also
   groß, nun soll er kleiner sein, also ist er nun
   groß.