Abi Bayern 2018 Stochastik B1

Aufgabe

Auf einem Abschnitt einer wenig befahrenen Landstraße ist eine Höchstgeschwindigkeit von zugelassen. An einer Stelle dieses Abschnitts wird die Geschwindigkeit vorbeifahrender Pkw gemessen. Im Folgenden werden vereinfachend nur solche Fahrten betrachtet, bei denen die Fahrer die Geschwindigkeit unabhängig voneinander wählen konnten.

Aufgabe 1

Für die ersten 200 erfassten Fahrten ergab sich nach Einteilung in Geschwindigkeitsklassen die folgende Verteilung:

• "Der Fahrer war allein unterwegs."
• "Der Pkw war zu schnell."

1. Weisen Sie nach, dass die Ereignisse und stochastisch abhängig sind, und geben Sie hierfür einen möglichen Grund im Sachzusammenhang an.
   (5 BE)
   Die Geschwindigkeitsmessungen werden über einen längeren Zeitraum fortgesetzt. Dabei zeigt sich, dass die Verteilung der auf genau gemessenen Geschwindigkeiten näherungsweise durch eine Binomialverteilung mit den Parametern und beschrieben werden kann. Beispielsweise entspricht näherungsweise dem Anteil der mit einer Geschwindigkeit von erfassten Pkw.
2. Bestätigen Sie exemplarisch für eine der beiden mittleren Geschwindigkeitsklassen der oben dargestellten Stichprobe, dass die ermittelte Anzahl der Fahrten mit der Beschreibung durch die Binomialverteilung im Einklang steht.
   (4 BE)
3. Bestimmen Sie unter Verwendung dieser Binomialverteilung die kleinste Geschwindigkeit , für die die folgende Aussage zutrifft: "Bei mehr als der erfassten Fahrten wird nicht überschritten."
   (2 BE)

Aufgabe 2

Die Polizei führt an der Messstelle eine Geschwindigkeitskontrolle durch. Bei einer Geschwindigkeit von mehr als liegt ein Tempoverstoß vor. Vereinfachend soll davon ausgegangen werden, dass die Geschwindigkeit eines vorbeifahrenden Pkw mit einer Wahrscheinlichkeit von größer als ist.

1. Berechnen Sie die Anzahl der Geschwindigkeitsmessungen, die mindestens durchgeführt werden müssen, damit mit einer Wahrscheinlichkeit von mehr als mindestens ein Tempoverstoß erfasst wird.
   (4 BE)
2. Liegt in einer Stichprobe von 50 Geschwindigkeitsmessungen die Zahl der Tempoverstöße um mehr als eine Standardabweichung unter dem Erwartungswert, geht die Polizei davon aus, dass wirksam vor der Geschwindigkeitskontrolle gewarnt wurde, und bricht die Kontrolle ab. Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die Geschwindigkeitskontrolle fortgeführt wird, obwohl die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein Tempoverstoß begangen wird, auf gesunken ist.
   (5 BE)

Lösung

Lösung zu Aufgabe 1

1. Laut Aufgabenstellung waren der Fahrer allein unterwegs. Es gilt also:
   Aus dem Histogramm kann die Wahrscheinlichkeit dafür abgelesen werden, dass ein Fahrer zu schnell unterwegs war:
   Von den Fahrern, die allein unterwegs waren, sind 65 zu schnell gefahren. Die Wahrscheinlichkeit, dass ein Fahrer zu schnell und allein unterwegs war, beträgt also:
   Es gilt damit:
   Damit ist und damit sind die Ereignisse und stochastisch nicht unabhängig von einander. Eine mögliche Begründung ist vorsichtigeres Fahren, wenn andere Personen mit im Auto sitzen (größere Verantwortung).
2. Für die Geschwindigkeitsklasse gilt fürs Schaubild:
   mithilfe des Tabellenwerks ergibt sich:
   Die beiden Werte stimmen also in etwa überein.
3. Gesucht ist die kleinste Geschwindigkeit , für die gilt:
   Aus dem Tafelwerk kann abgelesen werden, dass für die gesuchte Geschwindigkeit gilt:

Lösung zu Aufgabe 2

1. Die Wahrscheinlichkeit für einen Tempoverstoß beträgt laut Aufgabenstellung . Damit kann die Wahrscheinlichkeit , dass bei Geschwindigkeitsmessungen mindestens ein Tempoverstoß erfasst wird, wie folgt berechnet werden:
   Es soll gelten:
   Es müssen also mindestens 22 Geschwindigkeitsmessungen durchgeführt werden, damit mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens ein Tempoverstoß erfasst wird.
2. Es werden 50 Geschwindigkeitsmessungen durchgeführt. Für den Erwartungswert gilt:
   Für die Standardabweichung gilt:
   Also:
   Die Polizei bricht also ab, falls höchstens 6 Tempoverstöße erfasst wurden. Die Wahrscheinlichkeit, dass die Polizei die Geschwindigkeitskontrollen fortführt, obwohl die Wahrscheinlichkeit, einen Tempoverstoß zu begehen, lediglich bei liegt, beträgt:
   Mit einer Wahrscheinlichkeit von ungefähr wird die Kontrolle weitergeführt, obwohl die Wahrscheinlichkeit nur noch beträgt.