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Aufgabe
Aufgabe
Die Abbildung zeigt modellhaft wesentliche Elemente einer Kletteranlage: zwei horizontale Plattformen, die jeweils um einen vertikal stehenden Pfahl gebaut sind, sowie eine Kletterwand, die an einer der beiden Plattformen angebracht ist.
- In den Mittelpunkten der oberen und unteren Kante der Kletterwand sind die
Enden eines Seils befestigt, das
länger ist als der Abstand der genannten Mittelpunkte. Berechnen Sie die Länge des Seils. (3 BE) - Die Punkte
, , und liegen in der Ebene . Ermitteln Sie eine Gleichung von in Normalenform. Zur Kontrolle: (4 BE) - Zeigen Sie, dass die Kletterwand die Form eines Trapezes hat. (2 BE)
- Bestimmen Sie die Größe des Winkels, den die Kletterwand mit dem Untergrund einschließt. (3 BE)
Über ein Kletternetz kann man von einer Plattform zur anderen gelangen.
Die vier Eckpunkte des Netzes sind an den beiden Pfählen befestigt.
Einer der beiden unteren Eckpunkte befindet sich an Pfahl 1
auf der Höhe der zugehörigen Plattform,
der andere untere Eckpunkt an Pfahl 2 oberhalb der Plattform 2.
An jedem Pfahl beträgt der Abstand der beiden dort befestigten Eckpunkte des Netzes
- Berechnen Sie den Flächeninhalt des Netzes und erläutern Sie Ihren Ansatz.
(3 BE)
- Die untere Netzkante berührt die Plattform 2 an der Seite,
die durch die Strecke
dargestellt wird. Betrachtet wird der untere Eckpunkt des Netzes, der oberhalb der Plattform 2 befestigt ist. Im Modell hat dieser Eckpunkt die Koordinaten mit einer reellen Zahl . Die untere Netzkante liegt auf der Geraden . Berechnen Sie den Abstand des betrachteten Eckpunkts von der Plattform 2. (5 BE)
Lösung
Lösung zu Aufgabe 1
- Zunächst werden die Mittelpunkte
der Strecke und der Strecke Die Mittelpunkte der beiden Strecken haben also die KoordinatenDer Abstand der beiden Punkte beträgtDas Seil ist laut Aufgabenstellunglänger als der Abstand der beiden Mittelpunkte. Für die Länge des Seil gilt: Die Länge des Seils beträgt also ungefähr. - Die Punkte
, , und liegen auf der Ebene . Eine Parametergleichung für die Ebene ist gegeben durch Ein Normalenvektor der Ebeneder Ebene kann mithilfe des Keuzproduktes der beiden Spannvektoren bestimmt werden: Eine Gleichung der Ebenein Normalenform lautet damit: Dies entspricht dem Kontrollergebnis, dennDies stimmt also mit dem Kontrollergebnis überein. - Es gelten:
Die beiden Vektoren sind also Vielfache voneinander und damit sind zwei Seiten des Vierecks parallel, damit ist das Viereck ein Trapez.
- Die Normalenvektoren der Ebene
und des Untergrundes lauten Für den Winkel, den die Kletterwand gegen den Untergrund aufweist, gilt: also. Die Kletterwand schließt einen Winkel von ungefähr mit dem Untergrund ein. - In der nachfolgenden Skizze ist der Sachverhalt veranschaulicht.