Abi Bayern 2018 Geometrie B1

Aufgabe

Aufgabe

Auf einem Spielplatz wird ein dreieckiges Sonnensegel errichtet, um einen Sandkasten zu beschatten. Hierzu werden an drei Ecken des Sandkastens Metallstangen im Boden befestigt, an deren Enden das Sonnensegel fixiert wird.

In einem kartesischen Koordinatensystem stellt die -Ebene den horizontalen Boden dar. Der Sandkasten wird durch das Rechteck mit den Eckpunkten , , und beschrieben. Das Sonnensegel wird durch das ebene Dreieck mit den Eckpunkten , und dargestellt (vgl. Abbildung 1). Eine Längeneinheit im Koordinatensystem entspricht einem Meter in der Realität.

1. Ermitteln Sie eine Gleichung der Ebene in Normalenform.
   Zur Kontrolle:
   (4 BE)
2. Der Hersteller des Sonnensegels empfiehlt, die verwendeten Metallstangen bei einer Sonnensegelfläche von mehr als durch zusätzliche Sicherungsseile zu stabilisieren. Beurteilen Sie, ob eine solche Sicherung aufgrund dieser Empfehlung in der vorliegenden Situation nötig ist.
   (3 BE)

Auf das Sonnensegel fallen Sonnenstrahlen, die im Modell und in der Abbildung 1 durch parallele Geraden mit dem Richtungsvektor dargestellt werden können. Das Sonnensegel erzeugt auf dem Boden einen dreieckigen Schatten. Die Schatten der mit bzw. bezeichneten Ecken des Sonnensegels werden mit bzw. bezeichnet.

3. Begründen Sie ohne weitere Rechnung, dass auf der -Achse liegt.
   (2 BE)
4. hat die Koordinaten . Zeichnen Sie das Dreieck, das den Schatten des Sonnensegels darstellt, in Abbildung 1 ein. Entscheiden Sie anhand der Zeichnung, ob mehr als die Hälfte des Sandkastens beschattet ist.
   (3 BE)
5. Um das Abfließen von Regenwasser sicherzustellen, muss das Sonnensegel einen Neigungswinkel von mindestens gegenüber dem horizontalen Boden aufweisen. Begründen Sie, dass das Abfließen von Regenwasser im vorliegenden Fall nicht sichergestellt ist.
   (3 BE)
6. Bei starkem Regen verformt sich das Sonnensegel und hängt durch. Es bildet sich eine sogenannte Wassertasche aus Regenwasser, das nicht abfließen kann. Die Oberseite der Wassertasche verläuft horizontal und ist näherungsweise kreisförmig mit einem Durchmesser von . An ihrer tiefsten Stelle ist die Wassertasche tief. Vereinfachend wird die Wassertasche als Kugelsegment betrachtet (vgl. Abbildung 2).

Lösung

Lösung zu Aufgabe 1

1. Eine Parameterform der Ebene ist gegeben durch

   Ein Normalenvektor von kann zum Beispiel mit Hilfe des Kreuzproduktes der beiden Spannvektoren bestimmt werden. Es gilt:
   Eine Normalengleichung von ist damit gegeben durch:
   Dies ist gleichbedeutend zum Kontrollergebnis, denn es gilt:
   Dies stimmt also mit dem Kontrollergebnis überein.

2. Die Gerade durch die Punkte und hat die Gleichung

   Der Flächeninhalt des Dreiecks kann wie folgt berechnet werden:
   Für den Abstand des Punktes von der Gerade wird zunächst die Gleichung einer Hilfsebene bestimmt, welche senkrecht zur Geraden und durch den Punkt verläuft, also:
   Der Schnittpunkt der Ebene mit der Geraden ist der Lotfußpunkt , es gilt:
   Die Koordinaten des Lotfußpunktes sind gegeben durch
   Damit kann der Flächeninhalt der Sonnensegelfläche bestimmt werden:
   Das Sonnensegel ist also ungefähr groß und damit wird kein weiteres Sicherungsseil benötigt.

   Alternativer Weg
   Der Flächeninhalt der Sonnensehelfläche kann mithilfe des Kreuzproduktes bestimmt werden und es gilt:

   Das Sonnensegel ist also ungefähr groß und damit wird kein weiteres Sicherungsseil benötigt

3. Der Schattenpunkt von ist laut Aufgabenstellung und damit verlaufen die Sonnenstrahlen entlang des Vektors mit

   Damit ist die -Komponente des Schattenpunktes dieselbe wie die des Punktes, von dem aus der Schatten bestimmt werden soll. Die -Komponente des Punktes ist Null. Der Schattenpunkt liegt auf der -Ebene und damit gilt für den Schattenpunkt . Sowohl die -Komponenten als auch die -Komponente des Schattenpunkts sind also Null und damit liegt der Schattenpunkt auf der -Achse.

4. Die Koordinaten der Schattenpunkte und sind bekannt und lauten:

   Die Koordinaten des Schattenpunktes werden bestimmt. In der vorangegangen Teilaufgabe wurde der Vektor bestimmt, entlang dessen die Sonnenstrahlen verlaufen:
   Der Schattenpunkt liegt in der -Ebene und auf der Geraden mit der Gleichung
   Gesucht ist also der Schnittpunkt der Geraden mit der -Ebene, also :
   also
   Der Schattenpunkt hat damit die Koordinaten
   In der nachfolgenden Skizze sind die Schattenpunkte und der Schattenpunkt verdeutlicht.
   Aus der Skizze kann abgelesen werden, dass mehr als die Hälfte des Sandkastens im Schatten liegt.

5. Die Normalenvektoren der Ebene und der Horizontalen lauten

   Für den Winkel , den das Sonnensegel gegen die Horizontale aufweist, gilt:
   und damit:
   Damit ist das Abfließen von Regenwasser nicht gewährleistet.

6. Laut Aufgabenstellung besitzt die Wassertasche einen Durchmesser von und ist an der tiefsten Stelle tief. In der nachfolgenden Skizze wurden diese Längenangaben ergänzt.

   Für den Radius der Kugel gilt nach dem Satz von Pythagoras:

   Der Radius der Kugel beträgt also . Mithilfe der Formel aus der Aufgabenstellung kann nun das Wasservolumen bestimmt werden:
   Es gilt:
   Es sammelt sich also eine Wassermenge von ungefähr in der Wassertasche.