Abi Bayern 2018 Geometrie A1

Aufgabe

Aufgabe 1

Gegeben ist die Kugel mit Mittelpunkt und Radius .

1. Bestimmen Sie alle Werte , für die der Punkt auf der Kugel liegt.
   (3 BE)
2. Die Gerade berührt die Kugel im Punkt . Ermitteln Sie eine mögliche Gleichung von .
   (2 BE)

Aufgabe 2

Für jeden Wert mit ist eine Gerade gegeben durch

, .

1. Bestimmen Sie in Abhängigkeit von die Koordinaten des Punkts, in dem die -Ebene schneidet.
   (2 BE)
2. Für genau einen Wert von hat die Gerade einen Schnittpunkt mit der -Achse. Ermitteln Sie die Koordinaten dieses Schnittpunkts.
   (3 BE)

Lösung

Lösung zu Aufgabe 1

1. Der Punkt liegt genau dann auf der Kugel, wenn der Abstand des Punktes zum Mittelpunkt der Kugel dem Radius entspricht. Zunächst wird also der Abstand des Punktes zum Mittelpunkt bestimmt. Es gilt:
   Der Radius der Kugel ist laut Aufgabenstellung , und damit liegt der Punkt genau dann auf der Kugel, wenn gilt:
   Diese Gleichung wird quadriert, um die Lösungen zu bestimmen:
   Weil die Gleichung quadriert wurde, muss eine Probe durchgeführt werden, da Quadrieren möglicherweise die eigentliche Lösungsmenge um zusätzliche Werte vergrößert, die aber tatsächlich keine Lösungen sind. Es gilt:
   Beide Werte und sind damit Lösungen der Gleichung. Die beiden Punkte und liegen auf der Kugel mit Mittelpunkt und Radius .
   Alternativer Weg: Die Kugelgleichung einer Kugel mit Mittelpunkt und Radius ist gegeben durch:
   Durch Einsetzen der Koordinaten von , und des Radius ergibt sich:
   Die beiden Punkte und liegen auf der Kugel mit Mittelpunkt und Radius .
2. Die Gerade berührt die Kugel im Punkt . Im nachfolgenden Schaubild ist der Sachverhalt skizziert.

Der Punkt liegt als Berührpunkt von Gerade und Kugel auf der Geraden . Der Richtungsvektor der Geraden muss senkrecht auf dem Verbindungsvektor zwischen Berührpunkt und Mittelpunkt stehen. Es gilt:

Lösung zu Aufgabe 2

Die Gleichung der Geraden ist laut Aufgabenstellung für gegeben durch: