Videolösungen
Aufgabe 1
Aufgabe 2
Aufgabe
Aufgabe 1
Gegeben ist die Kugel mit Mittelpunkt
- Bestimmen Sie alle Werte
, für die der Punkt auf der Kugel liegt. (3 BE) - Die Gerade
berührt die Kugel im Punkt . Ermitteln Sie eine mögliche Gleichung von . (2 BE)
Aufgabe 2
Für jeden Wert
- Bestimmen Sie in Abhängigkeit von
die Koordinaten des Punkts, in dem die -Ebene schneidet. (2 BE) - Für genau einen Wert von
hat die Gerade einen Schnittpunkt mit der -Achse. Ermitteln Sie die Koordinaten dieses Schnittpunkts. (3 BE)
Lösung
Lösung zu Aufgabe 1
- Der Punkt
liegt genau dann auf der Kugel, wenn der Abstand des Punktes zum Mittelpunkt der Kugel dem Radius entspricht. Zunächst wird also der Abstand des Punktes zum Mittelpunkt bestimmt. Es gilt: Der Radius der Kugel ist laut Aufgabenstellung, und damit liegt der Punkt genau dann auf der Kugel, wenn gilt: Diese Gleichung wird quadriert, um die Lösungen zu bestimmen:Weil die Gleichung quadriert wurde, muss eine Probe durchgeführt werden, da Quadrieren möglicherweise die eigentliche Lösungsmenge um zusätzliche Werte vergrößert, die aber tatsächlich keine Lösungen sind. Es gilt:Beide Werteund sind damit Lösungen der Gleichung. Die beiden Punkte und liegen auf der Kugel mit Mittelpunkt und Radius .
Alternativer Weg: Die Kugelgleichung einer Kugel mit Mittelpunktund Radius ist gegeben durch: Durch Einsetzen der Koordinaten von, und des Radius ergibt sich: Die beiden Punkteund liegen auf der Kugel mit Mittelpunkt und Radius . - Die Gerade
berührt die Kugel im Punkt . Im nachfolgenden Schaubild ist der Sachverhalt skizziert.
Der Punkt
Lösung zu Aufgabe 2
Die Gleichung der Geraden