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Aufgabe
Aufgabe 1
Abbildung 1 zeigt den Graphen
- Ermitteln Sie einen Funktionsterm von
.
Zur Kontrolle:(4 BE) - Zeigen Sie, dass
im Punkt einen Wendepunkt besitzt, und ermitteln Sie eine Gleichung der Tangente an im Punkt . (6 BE) geht aus dem Graphen der in definierten Funktion durch eine Verschiebung in positive -Richtung hervor. Ermitteln Sie, um wie viel der Graph von dazu verschoben werden muss. Begründen Sie mithilfe der Funktion , dass der Graph von symmetrisch bezüglich seines Wendepunkts ist. (4 BE)
Im Folgenden wird die in
-
hat für zwei ganzzahlige Nullstellen. Geben Sie diese an und begründen Sie Ihre Angaben. (3 BE) -
Begründen Sie mithilfe von Abbildung 1, dass
mindestens eine weitere positive Nullstelle hat. (2 BE) -
Begründen Sie, dass
höchstens vier Nullstellen hat. (2 BE) -
Für
gilt, dass der Graph von und der Graph einer trigonometrischen Funktion - die gleichen Schnittpunkte mit der
-Achse besitzen - beide nicht unterhalb der
-Achse verlaufen, - jeweils mit der
-Achse eine Fläche des Inhalts einschließen.
Bestimmen Sie einen Term einer solchen Funktion
. (6 BE) - die gleichen Schnittpunkte mit der
Aufgabe 2
Die Kosten, die einem Unternehmen bei der Herstellung einer Flüssigkeit entstehen,
können durch die Funktion
-
Geben Sie mithilfe von Abbildung 2
- die Produktionsmenge an, bei der die Kosten
Euro betragen. - das Monotonieverhalten von
an und deuten Sie Ihre Angaben im Sachzusammenhang. (3 BE)
Die Funktion
mit gibt für den Erlös (in 1000 Euro) an, den das Unternehmen beim Verkauf von Kubikmetern der Flüssigkeit erzielt. Für die sogenannte Gewinnfunktion gilt . Positive Werte von werden als Gewinn bezeichnet, negative als Verlust. - die Produktionsmenge an, bei der die Kosten
-
Zeigen Sie, dass das Unternehmen keinen Gewinn erzielt, wenn vier Kubikmeter der Flüssigkeit verkauft werden.
(2 BE) -
Zeichnen Sie den Graphen von
in Abbildung 2 ein. Bestimmen Sie mithilfe der so entstehenden Darstellung den Bereich, in dem die verkaufte Menge der Flüssigkeit liegen muss, damit das Unternehmen einen Gewinn erzielt. (3 BE) -
Berechnen Sie, welche Menge der Flüssigkeit verkauft werden muss, damit das Unternehmen den größten Gewinn erzielt.
(5 BE)
Lösung
Lösung zu Aufgabe 1
-
Eine ganzrationale Funktion dritten Grades hat folgende allgemeine Funktionsgleichung und Ableitungen:
Laut Aufgabenstellung hat die Funktiondie Nullstellen , und . Die Punkte , und liegen also auf dem Graphen von und es muss gelten: Der Punktliegt auf dem Graphen von und damit muss gelten: Diese vier Bedingungen führen in der angeführten Reihenfolge zu folgendem Gleichungssystem:Aus der ersten Gleichung folgt direkt.
Setzt manin die verbleibenden Gleichungen ein, so erhält man drei Gleichungen mit drei Variablen. Damit ergibt sich:beziehungsweise:Aus der Gleichungfolgt: Den Wertin eingesetzt, ergibt: Nun werden die Werteund in eingesetzt. Dies ergibt: Eine Funktionsgleichung der Funktionlautet somit: -
Nachweis, dass
ein Wendepunkt ist Zunächst werden die ersten drei Ableitungen der Funktion
bestimmt: Es ist zu zeigen, dasseine Nullstelle von ist. Es gilt: Außerdem gelten:Damit besitzt der Graphan der Stelle einen Wendepunkt. Laut Aufgabenstellung schneidet der Graph die -Achse an der Stelle und damit besitzt der Graph von den Wendepunkt . Bestimmung der Tangentengleichung im Wendepunkt
Gesucht ist die Gleichung der Tangente an den Graphen
im Punkt . Die Steigung der Tangente ist gegeben durch: Die Tangentehat damit die Gleichung Um den Wert vonzu bestimmen, wird eine Punktprobe mit durchgeführt: Also ist eine Gleichung für die gesuchte Tangente angegeben durch -
Falls der Graph von
um Einheiten in positive -Richtung verschoben wird, so gehört dieser Graph zur Funktion , wobei Gesucht ist nun derjenige Wert des Parameters, für den gilt: Also:Ein Koeffizientenvergleich, beispielsweise für, liefert: Der Graph vonmuss also um 5 Einheiten in positive -Richtung verschoben werden, damit er dem Graphen von entspricht. Desweiteren ist der Graph von punktsymmetrisch zum Ursprung, weil die Funktion ganzrational ist und nur ungerade Potenzen enthält. Damit ist punktsymmetrisch zum Wendepunkt . -
Die Funktion
ist definiert als Es gilt:Damit hat die Funktioneine Nullstelle bei . Der Wert beschreibt den orientierten Flächeninhalt, den der Graph von im Intervall mit der -Achse einschließt. Weil der Graph von punktsymmetrisch zum Wendepunkt ist, gilt: Im folgenden Schaubild wird der Sachverhalt verdeutlicht. Die Fläche, die der Graph oberhalb der-Achse mit dieser einschließt ist genau gleich groß wie die Fläche die der Graph unterhalb der -Achse mit dieser einschließt. Die Funktionhat im Intervall daher die ganzzahligen Nullstellen und . -
Es gibt einen weiteren Wert
, sodass der orientierte Flächeninhalt, den der Graph von im Intervall mit der -Achse einschließt, Null ist. Im folgenden Schaubild ist dies veranschaulicht. Die Funktionhat damit eine weitere positive Nullstelle . -
Die Funktion
ist eine ganzrationale Funktion dritten Grades und damit ist die Funktion als Integralfunktion eine ganzrationale Funktion vierten Grades. Also kann höchstens vier Nullstellen haben. -
Ein Ansatz für eine trigonometrische Funktion ist
Es soll gelten:alsoDesweiteren soll gelten:Also:Es gilt:und damit soll gelten:Also:
Lösung zu Aufgabe 2
- Die Funktion
gibt die Kosten in 1000 Euro an, die bei der Produktion von Kubikmetern Flüssigkeit entstehen. Somit ist diejenige Stelle gesucht, an der sich die Graphen der Funktion und der Funktion schneiden. In Abbildung 2 wird daher zusätzlich zum Graphen von die Gerade eingezeichnet und der -Wert des Schnittpunktes abgelesen. Die Kosten für 7 Kubikmeter Flüssigkeit betragenEuro. Die Funktion ist monoton steigend, das heißt je mehr Flüssigkeit produziert wird, desto mehr Produktionskosten entstehen. - Es gelten:
undBeim Verkauf von 4 Kubikmetern Flüssigkeit erzielt das Unternehmen einen Gewinn von
Euro und es entstehen Kosten von Euro. Damit macht das Unternehmen weder Gewinn noch Verlust bei einem Verkauf von 4 Kubikmetern Flüssigkeit. - Im folgenden Schaubild ist zusätzlich zum Graphen der Funktion
der Graph der Funktion eingezeichnet. Aus dem Schaubild kann abgelesen werden, dass das Unternehmen Gewinn erzielt, wenn es zwischen 4 und 8,5 Kubikmetern Flüssigkeit verkauft. - Es gilt:
Gesucht ist das Maximum von
, daher werden zunächst die ersten beiden Ableitungen der Funktion bestimmt: Die Nullstellen vonsind Kandidaten für die Extremstellen von . Daher werden nun die Nullstellen von bestimmt: alsoEs gelten:Der Graph vonhat damit an der Stelle einen Tiefpunkt und an der Stelle einen Hochpunkt. Damit erzielt das Unternehmen bei einem Verkauf von ungefähr 6,646 Kubikmetern Flüssigkeit den höchsten Gewinn.