Abi Bayern 2018 Analysis B1

Aufgabe

Aufgabe

Gegeben ist die in definierte Funktion . Abbildung 1 zeigt den Graphen von .

Aufgabe 1

1. Zeigen Sie, dass und die einzigen Nullstellen von sind, und berechnen Sie die Koordinaten des Tiefpunkts von . Zur Kontrolle:
   (5 BE)
2. Zeigen Sie, dass genau einen Wendepunkt besitzt, und bestimmen Sie dessen Koordinaten sowie die Gleichung der Tangente an im Punkt . Zur Kontrolle: -Koordinate von :
   (6 BE)
3. Begründen Sie, dass und gilt. Geben Sie und auf eine Dezimalstelle genau an und zeichnen Sie den Graphen der Ableitungsfunktion unter Berücksichtigung aller bisherigen Ergebnisse in Abbildung 1 ein.
   (6 BE)
4. Begründen Sie unter Zuhilfenahme von Abbildung 1, dass es zwei Werte gibt, für die gilt: .
   (3 BE)

Die gebrochen-rationale Funktion mit stellt in einem gewissen Bereich eine gute Näherung für dar.

5. Geben Sie die Gleichungen der beiden Asymptoten des Graphen von an.
   (2 BE)
6. Im IV. Quadranten schließt zusammen mit der -Achse und den Geraden mit den Gleichungen und ein Flächenstück ein, dessen Inhalt etwa beträgt. Ermitteln Sie die prozentuale Abweichung von diesem Wert, wenn bei der Berechnung des Flächeninhalts die Funktion als Näherung für die Funktion verwendet wird.
   (5 BE)

Aufgabe 2

Durch Spiegelung von an der Geraden entsteht der Graph einer in definierten Funktion . Dieser Graph wird mit bezeichnet.

1. Zeichnen Sie in Abbildung 1 ein.
   (2 BE)
2. Die beschriebene Spiegelung von an der Geraden kann durch eine Spiegelung von an der -Achse mit einer anschließenden Verschiebung ersetzt werden. Beschreiben Sie diese Verschiebung und geben Sie an, sodass für gilt.
   (3 BE)
   Im Folgenden wird die „w-förmige“ Kurve betrachtet, die sich aus dem auf beschränkten Teil von und dem auf beschränkten Teil von zusammensetzt. Die Kurve wird um Einheiten in negative -Richtung verschoben. Die dabei überstrichene Fläche dient als Modell für ein Meter langes Aquarium, das durch zwei ebene Wände an Vorder- und Rückseite zu einem Becken ergänzt wird (vgl. Abbildung 1). Dabei entspricht eine Längeneinheit im Koordinatensystem einem Meter in der Realität.

3. Die Aquariumwände bilden an der Unterseite einen Tunnel, durch den die Besucher hindurchgehen können. Berechnen Sie die Größe des Winkels, den die linke und die rechte Tunnelwand miteinander einschließen.
   (3 BE)
   Das Aquarium wird vollständig mit Wasser gefüllt.
4. Berechnen Sie die größtmögliche Wassertiefe des Aquariums.
   (2 BE)
5. Das Volumen des Wassers im Aquarium lässt sich analog zum Rauminhalt eines Prismas mit Grundfläche und Höhe berechnen. Erläutern Sie, dass der Term das Wasservolumen im vollgefüllten Aquarium in Kubikmetern beschreibt.
   (3 BE)

Lösung

Lösung zu Aufgabe 1

1. Nullstellen

   Die Nullstellen der Funktion sind die Lösungen der Gleichung

   und damit
   Die einzigen Nullstellen der Funktion sind also gegeben durch und .

   Berechnung der ersten beiden Ableitungen

   Für die Funktion gilt:

   und damit nach der Kettenregel:
   Für die zweite Ableitung gilt nach der Produktregel:

   Alternativer Weg
   Die zweite Ableitung kann auch mithilfe der Quotientenregel bestimmt werden:

   Bestimmung der Koordinaten des Tiefpunkts von

   Am Tiefpunkt des Graphen von besitzt dieser eine waagrechte Tangente. Gesucht sind zunächst die Nullstellen der Ableitung , also die Lösungen der Gleichung

   Nach dem Satz vom Nullprodukt ist ein Produkt genau dann Null, wenn mindestens einer der Faktoren Null ist. Die Nullstellen sind also gegeben durch die Lösungen von
   Die erste Gleichung
   hat keine Lösung. Für die verbleibende Gleichung gilt:
   Nun muss überprüft werden, ob der Graph von an der Stelle tatsächlich einen Tiefpunkt besitzt. Es gilt:
   Weil und gilt, besitzt der Graph von an der Stelle einen Tiefpunkt. Der Graph von besitzt einen Tiefpunkt mit den Koordinaten .

   Alternativer Weg
   Die Funktion besitzt an der Stelle eine Nullstelle mit Vorzeichenwechsel von nach , denn es gelten:

   und
   Es gilt:
   Der Graph von besitzt einen Tiefpunkt mit den Koordinaten .

2. Bestimmung der Koordinaten des Wendepunktes von

   Zunächst werden die Nullstellen der zweiten Ableitung berechnet:

   Nun wird überprüft, ob die Funktion an der Stelle einen Extrempunkt besitzt. Hierzu wird die Nullstelle auf einen Vorzeichenwechsel untersucht

   Die Funktion hat an der Stelle eine Nullstelle mit Vorzeichenwechsel und der Graph von deshalb an dieser Stelle einen Wendepunkt. Desweiteren gilt:

   Die Koordinaten des Wendepunktes des Graphen von sind .

   Bestimmung der Tangentengleichung an im Punkt

   Die Koordinaten des Wendepunktes sind gegeben durch . Die allgemeine Geradengleichung lautet:

   Die Steigung der Tangente im Punkt ist gegeben durch den Wert der Ableitung an dieser Stelle, also . Es gilt:
   Die Tangente an den Graphen der Funktion hat also die vorläufige Gleichung:
   Nun wird noch der -Achsenabschnitt bestimmt. Hierzu führt man eine Punktprobe mit dem Punkt durch, denn dieser Punkt liegt auch auf der Tangente. Es gilt:
   Die Gleichung der Tangente an im Wendepunkt lautet:

3. Die erste Ableitung der Funktion wurde bereits in Aufgabenteil a) bestimmt und es gilt:

   Bestimmung des Grenzwerts für

   Es gelten:

   und damit:

   Bestimmung des Grenzwerts für

   Es gilt:

   Die Logarithmusfunktion wächst im Unendlichen viel langsamer als jede Potenz von mit positivem Exponenten, es gilt daher:

   Alternativer Weg

   Gemäß Merkhilfe gilt für jedes :

   und damit
   Wegen
   folgt daraus

   Bestimmung der Werte und

   Es gelten außerdem:

   Mithilfe dieser Daten kann nun der Graph der Ableitung in das Schaubild eingezeichnet werden.

4. Es gilt

   und . Außerdem gibt es noch eine Stelle , sodass die Fläche, welche der Graph von zusammen mit der -Achse und den Geraden mit den Gleichungen und und die Fläche, welcher der Graph von zusammen mit der -Achse und den Geraden mit den Gleichungen und einschließt, gleich groß sind. Der Graph von verläuft im Bereich unterhalb der -Achse und im Bereich oberhalb der -Achse.

   Damit ist der orientierte Flächeninhalt, den der Graph von mit der -Achse im Intervall einschließt, gleich Null. Im nachfolgenden Schaubild ist dies veranschaulicht.

   Damit gibt es zwei Werte und im Intervall , sodass
   gilt.

5. Die Funktion ist gegeben durch die Gleichung

   Senkrechte Asymptote

   Die Definitionsmenge der Funktion ist gegeben durch . Die Funktion hat eine Polstelle bei und der Graph der Funktion damit eine senkrechte Asymptote bei .

   Schiefe Asymptote

   Für beziehungsweise gilt

   und damit nähert sich der Graph für beziehungsweise für der Gerade mit der Gleichung
   Dies ist die Gleichung der schiefen Asymptote des Graphen von .

6. Laut Aufgabenstellung gilt:

   Für die Näherungsfunktion gilt:
   Der Flächeninhalt , der vom Graphen der Funktion , der -Achse und den Gerade mit den Gleichungen und eingeschlossenen Fläche, beträgt:
   Für die prozentuale Abweichung des Flächeninhalts unter Verwendung der Näherungsfunktion vom eingeschlossenen Flächeninhalt des Graphen der Funktion gilt:
   Die prozentuale Abweichung des Flächeninhalts bei Verwendung der Näherungsfunktion beträgt ungefähr .

Lösung zu Aufgabe 2

1. Im folgenden Schaubild sind die Graphen der Funktionen und skizziert.

2. Durch Spiegelung des Graphen von soll an der Geraden mit der Gleichung entsteht der Graph der Funktion .

   Für die Funktion gilt damit:

   Die Spiegelung an der Gerade soll nun durch eine Spiegelung an der -Achse mit anschließender Verschiebung ersetzt werden. Falls der Graph der Funktion an der -Achse gespiegelt wird, entsteht der Graph der Funktion mit
   Der Graph der Funktion wird nun um Einheiten in positive -Richtung verschoben, es entsteht der Graph der Funktion mit:
   Es soll gelten:
   Wegen
   muss also gelten:
   Damit kann die Spiegelung des Graphen an der Gerade auch durch eine Spiegelung des Graphen an der -Achse mit anschließender Verschiebung um 8 Einheiten in positiver -Richtung ersetzt werden und es gilt:

3. Die Aquariumwände schließen an der Unterseite den Winkel ein.

   Im folgenden Schaubild sind die Graphen der Funktionen und dargestellt sowie der gesuchte Winkel .

   Der Winkel entspricht gerade dem Winkel, den der Graph von mit der Horizontalen einschließt. Es gilt:
   und wegen
   folgt dann für den Winkel :
   Für den Winkel , den die Aquariumwände einschließen, gilt:
   Die Größe des Winkels, den die linke und die rechte Tunnelwand des Aquariums miteinander einschließen, beträgt ungefähr .

4. Im nachfolgenden Schaubild sind das Aquarium und die größtmögliche Wassertiefe dargestellt.

   Für die größtmögliche Wassertiefe im Aquarium gilt also:
   Eine Längeneinheit entspricht einem Meter in der Realität. Das Aquarium ist also maximal tief.

5. Das Volumen des Wassers im Aquarium kann analog zum Rauminhalt eines Prismas mit Grundfläche und Höhe berechnet werden. In der folgenden Skizze ist das Aquarium zusammen mit der Grundfläche und der Höhe dargestellt.

   Für das Volumen des Aquariums gilt . Für die Höhe gilt:
   und der Flächeninhalt der Grundfläche kann wie folgt berechnet werden:
   In Aufgabenteil b) wurde gezeigt, dass gilt und damit:
   Der zweite Term kann mithilfe der Rechenregeln für Integrale wie folgt umgeformt werden:
   Eine lineare Substitution liefert:
   und damit:
   Desweiteren gilt:
   und damit:
   Damit hat die Grundfläche die Größe
   Damit kann das Volumen des Wassers im Aquarium bestimmt werden durch:
   Eine Längeneinheit entspricht einem Meter in der Realität, daher beschreibt der Term das Wasservolumen im vollgefüllten Aquarium in Kubikmetern.

   Alternativer Weg
   Der Flächeninhalt zwischen den Geraden und dem Graphen der Funktion im Intervall wird mithilfe von

   berechnet. Aufgrund der Spiegelung des Graphen im Intervall an der Geraden sind die Flächen links und rechts der Spiegelgeraden gleich groß. Es gilt also
   Daraus folgt:
   und schließlich