Abi Bayern 2017 Stochastik B2

Aufgabe

Ein Großhändler bietet Samenkörner für Salatgurken in zwei Qualitätsstufen an. Ein Samenkorn der höheren Qualität A keimt mit einer Wahrscheinlichkeit von , eines der Qualität B mit einer Wahrscheinlichkeit von . Ein Anbaubetrieb kauft Samenkörner beider Qualitätsstufen, aller gekauften Samenkörner sind von der Qualität A.

1. In einem Gedankenexperiment werden die eingekauften Samenkörner zusammengeschüttet und gemischt. Bestimmen Sie mithilfe eines beschrifteten Baumdiagramms

   1. die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein zufällig ausgewähltes Samenkorn keimt;
   2. die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein zufällig ausgewähltes Samenkorn, das nach der Saat keimt, von der Qualität B ist.
      (5 BE)

2. Der Anbaubetrieb sät 200 Samenkörner der Qualität B. Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeiten folgender Ereignisse:
   Von den gesäten Samenkörnern keimen genau 140.
   Von den gesäten Samenkörnern keimen mehr als 130 und weniger als 150.

   (3 BE)

3. Beschreiben Sie im Sachzusammenhang die Bedeutung des Terms , wobei eine binomial verteilte Zufallsgröße mit den Parametern und bezeichnet.

   (2 BE)

4. Keimt ein Samenkorn, so wächst daraus eine Pflanze heran, die aufgrund schädlicher Einflüsse jedoch in manchen Fällen keine Gurken trägt. Bei einem gekeimten Samenkorn der Qualität A entsteht mit einer Wahrscheinlichkeit von eine fruchttragende Pflanze, bei einem gekeimten Samenkorn der Qualität B mit einer Wahrscheinlichkeit von . Vereinfachend wird davon ausgegangen, dass - unabhängig von der Qualität der Samenkörner - von jeder fruchttragenden Pflanze gleich viele Gurken geerntet werden können. Ein Samenkorn der Qualität A kostet 17 Cent, eines der Qualität B 12 Cent. Entscheiden Sie durch Rechnung, ob es für einen Anbaubetrieb finanziell günstiger ist, sich auf Samenkörner der Qualität A zu beschränken, oder ob es finanziell günstiger ist, sich auf Samenkörner der Qualität B zu beschränken, wenn er alle Gurken zum selben Preis verkauft.

   (5 BE)

5. Der Großhändler behauptet, dass sich die Wahrscheinlichkeit für das Keimen eines Samenkorns der Qualität B durch eine veränderte Aufbereitung des Saatguts auf mehr als erhöht hat. Deshalb soll die Nullhypothese "Die Wahrscheinlichkeit für das Keimen eines Samenkorns der Qualität B ist höchstens ." auf einem Signifikanzniveau von getestet werden. Dazu werden 100 der verändert aufbereiteten Samenkörner der Qualität B zufällig ausgewählt und gesät. Bestimmen Sie die zugehörige Entscheidungsregel.

   (5 BE)

Lösung

Lösung zu Aufgabe 1

1. beschreibt das Ereingis, dass eine Samenkorn keimt.

   1. Ein Baumdiagramm zu dieser Situation sieht wie folgt aus:

      Um die Wahrscheinlichkeit zu bestimmen, dass ein bestimmtes Samenkorn keimt muss man die Wahrscheinlichkeiten der beiden Äste addieren, die zum Ereignis führen:
      Die Wahrscheinlichkeit, dass ein zufällig ausgewähltes Samenkorn keimt, beträgt also .

   2. Für die Berechnung der Wahrscheinlichkeit ist ein Blick auf das umgedrehte Baumdiagramm hilfreich. Man kann die Wahrscheinlichkeiten und eintragen und es ergibt sich:

      Nun kann man mit Hilfe der Pfadregel ausrechnen. Es gilt:
      Die Wahrscheinlichkeit, dass ein zufällig ausgewähltes Samenkorn, das nach der Saat keimt, von der Qualität ist, beträgt .

2. Die Wahrscheinlichkeit für das Keimen ist für jedes Samenkorn gleich und unabhängig davon, ob die anderen Samenkörner keimen oder nicht. Es handelt sich um eine binomialverteilte Zufallsgröße mit und . Die Zufallsgröße beschreibt die keimenden Samenkörner der Sorte B.

   Wahrscheinlichkeit

   Es gilt:

   Die Wahrscheinlichkeit, dass von den 200 eingesäten Samenkörnern der Sorte genau 140 keimen, liegt bei ungefähr .

   Wahrscheinlichkeit

   Es gilt:

   Die Daten können aus der Tabelle für die kumulierte Binomialverteilung abgelesen werden. Die Wahrscheinlichkeit, dass von den 200 eingesäten Samenkörnern der Sorte B mehr als 130 und weniger als 150 keimen, liegt bei ungefähr .

3. Es gilt:

   Der Term beschreibt also die Wahrscheinlichkeit, dass von Samenkörnern der Qualität A höchstens keimen.

4. Die Lösung dieser Teilaufgabe wird am verständlichsten, wenn man sich zunächst einen Betrag überlegt, für den man Samenkörner kauft. Wenn man sich für beispielsweise einen Euro Körner der Sorte A kauft, gilt für die Anzahl an Körnern die man erhält:

   Pro Euro kann man sich also circa Samenkörner kaufen. Von diesen keimen und von den gekeimten tragen Gurken. Dementsprechend erhält man pro Euro
   gurkentragende Pflanzen, wenn man nur Samen der Sorte A kauft.

   Analog gilt für Sorte B:

   Da laut Aufgabenstellung alle gurkentragenden Pflanzen gleich gut sind und man bei den Samen der Sorte A mehr Pflanzen pro investiertem Euro erhält, sind die Samenkörner der Sorte A vorzuziehen.

5. Die Zufallsgröße beschreibt die Anzahl der keimenden Samenkörner der Qualität B, es gilt . Aus dem Text liest man die Nullhypothese ab:

   Die Gegenhypothese lautet:
   Es handelt sich also um einen rechtsseitigen Test. Die Entscheidungsregel lautet:

   Annahmebereich: ,
   Ablehnungsbereich: .

   Der Wert wird so bestimmt, dass bei einem Signifikanzniveau von für den Fehler 1. Art gilt:

   Nun kann man aus der entsprechenden Tabelle ablesen, da gilt:
   

   Der Annahmebereich entspricht also dem Bereich von bis , der Ablehnungsbereich dementsprechend von bis .

   Keimen also höchstens der 100 gesäten Samenkörner, wird an der Nullhypothese: "Die Wahrscheinlichkeit für das Keimen eines Samenkorns der Qualität B ist höchstens " festgehalten. Ansonsten wird die Hypothese verworfen.