Abi Bayern 2017 Stochastik B1

Aufgabe

Das elektronische Stabilitätsprogramm (ESP) eines Autos kann Schleuderbewegungen und damit Unfälle verhindern.

Aufgabe 1

Gehen Sie bei den folgenden Aufgaben davon aus, dass aller Autos mit ESP ausgerüstet sind.

200 Autos werden nacheinander zufällig ausgewählt; die Zufallsgröße beschreibt die Anzahl der ausgewählten Autos mit ESP.

1. Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass von den ausgewählten Autos mindestens 70 mit ESP ausgerüstet sind.
   (3 BE)
2. Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeiten folgender Ereignisse.
   A: Das fünfte ausgewählte Auto ist das erste mit ESP.
   B: Die Zufallsgröße nimmt einen Wert an, der von ihrem Erwartungswert höchstens um eine Standardabweichung abweicht.
   (7 BE)

Aufgabe 2

In einem Parkhaus befinden sich insgesamt 100 Parkplätze.

1. Im Parkhaus sind 20 Parkplätze frei; vier Autofahrer suchen jeweils einen Parkplatz. Formulieren Sie in diesem Sachzusammenhang zu den folgenden Termen jeweils eine Aufgabenstellung, deren Lösung sich durch den Term berechnen lässt.

   • (3 BE)

Das Parkhaus ist nun mit 100 Autos besetzt, von denen 40 mit ESP ausgerüstet sind.

2. Sieben von diesen 100 Autos sind Kleinwagen und nicht mit ESP ausgerüstet, 90 sind keine Kleinwagen. Betrachtet werden folgende Ereignisse.
   Ein im Parkhaus zufällig ausgewähltes Auto ist mit ESP ausgerüstet.
   Bei einem im Parkhaus zufällig ausgewählten Auto handelt es sich um einen Kleinwagen.

   Geben Sie die Bedeutung von im Sachzusammenhang an und ermitteln Sie diese Wahrscheinlichkeit.

   (3 BE)

3. 30 der im Parkhaus stehenden Autos werden zufällig ausgewählt. Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass darunter genau mit ESP ausgerüstet sind.

   (4 BE)

Lösung zu Abi Bayern 2017 Stochastik B1

Lösung zu Aufgabe 1

1. Die Wahrscheinlichkeit, dass ein Auto mit ESP ausgerüstet ist, ist für jedes Auto gleich und unabhängig davon, ob andere Autos mit ESP ausgerüstet sind oder nicht. Aufgrund der kleinen Stichprobenmenge kann vernachlässigt werden, dass ein Auto zwei mal ausgewählt wird. Es handelt sich um eine binomialverteilte Zufallsgröße mit und . Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit, dass von den Autos oder mehr mit ESP ausgestattet sind:

   Hierbei wurde die Wahrscheinlichkeit aus der entsprechenden Tabelle abgelesen. Damit beträgt die Wahrscheinlichkeit, dass von den Autos oder mehr mit ESP ausgerüstet sind, ungefähr .

   Ereignis

   Das Ereignis bedeutet: Die ersten Autos besitzen kein ESP, das fünfte besitzt ESP. Es gilt:

   Zufallsgröße

   Die Zufallsgröße beschreibt die Anzahl der ausgewählten Autos mit ESP.

   Berechnung des Erwartungswertes und der Standardabweichung

   Es handelt sich um eine binomialverteilte Zufallsgröße mit und . Der Erwartungswert lässt sich berechnen durch die Formel:

   Die Formel für die Standardabweichung ist:

   Berechnung der Wahrscheinlichkeit

   Durch die Formulierung "höchstens" muss man die Standardabweichung auf abrunden und kann damit die Wahrscheinlichkeit dafür, dass der Wert von höchstens um eine Standardabweichung von ihrem Erwartungswert abweicht wie folgt berechnen:

   Die Wahrscheinlichkeit liegt bei ungefähr .

Lösung zu Aufgabe 2

1. Diese Aufgabenstellung stammt aus der Kombinatorik, es geht bei beiden Termen um eine Anzahl von Möglichkeiten.

   1. Die Situation kann man sich wie folgt vorstellen:
      • Dem ersten Auto stehen Möglichkeiten zur Verfügung, einen Parkplatz auszuwählen
      • dem zweiten Auto noch ,
      • dem dritten Auto und
      • dem vierten Auto Möglichkeiten. Somit ist der angegebene Term die Antwort auf die Frage:
        Wie viele Möglichkeiten gibt es, die vier Autos auf den freien Parkplätzen zu verteilen, wenn es auf die Reihenfolge der Belegung der Parkplätze ankommt?
   2. Der Binomialkoeffizient wird benutzt, um die Möglichkeiten zu berechnen, aus einer großen Gruppe eine kleinere auszuwählen. In diesem Fall also vier Parkplätze aus einer Gruppen von freien. Eine Aufgabenstellung könnte also lauten:
      Wie viele Möglichkeiten gibt es vier Parkplätze aus den freien auszuwählen, wenn es auf die Reihenfolge der Belegung der Parkplätze nicht ankommt?
      Man könnte hier auch über die Ununterscheidbarkeit argumentieren. Wenn man vier gleich aussehende Autos aus zwanzig freien Parkplätzen aussuchen lässt, beschreibt der Term ebenfalls die Anzahl der Möglichkeiten.

   Bei α) spielt es beispielsweise eine Rolle, ob ein bestimmter Parkplatz von einem viertürigen oder einem zweitürigen Auto belegt wird. Das sind zwei unterschiedliche Möglichkeiten. Bei β spielt diese Unterscheidung keine Rolle.

2. Der Aufgabenstellung kann man folgende Daten entnehmen:

   • Es gibt 7 Autos, welche Kleinwagen ohne ESP-Ausstattung sind.
   • Es sind 90 der 100 Autos keine Kleinwagen.

   Es gibt also 10 Kleinwagen, von denen 3 Stück mit ESP ausgestattet sind. Die gesuchte Wahrscheinlichkeit entspricht folgender Fragestellung:
   Wie wahrscheinlich ist es, dass ein im Parkhaus abgestellter Kleinwagen mit ESP ausgerüstet ist? Insofern betrachtet man als neue Basis nur die Kleinwagen, von denen es Stück gibt. Insofern gilt:

   Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein im Parkhaus abgestellter Kleinwagen mit ESP ausgerüstet ist, liegt bei .

   Alternativer Weg
   Es werden folgende Ereignisse betrachtet:

   : Das Auto ist mit ESP ausgerüstet.
   : Das Auto ist ein Kleinwagen.

   Folgende Felder einer Vierfeldertafel können mithilfe der Daten aus der Aufgabenstellung ausgefüllt werden:

   Ausgefüllt ergibt sich:

   Die gesuchte Wahrscheinlichkeit ist eine bedingte Wahrscheinlichkeit und entspricht folgender Fragestellung: Wie wahrscheinlich ist es, dass ein im Parkhaus abgestellter Kleinwagen mit ESP ausgerüstet ist? Insofern betrachtet man als neue Basis nur die Kleinwagen, von denen es Stück gibt. Wie man der Vierfeldertafel entnehmen kann, sind drei davon mit ESP ausgestattet. Insofern gilt:

   Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein im Parkhaus abgestellter Kleinwagen mit ESP ausgerüstet ist, liegt bei .

3. Zunächst wird bestimmt, wieviel von entspricht:

   Dieser Aufgabenteil entspricht der Ziehung von Kugeln aus einer Urne ohne Zurücklegen. Wie wahrscheinlich ist es bei der Ziehung von aus Autos ohne Zurücklegen genau Autos mit ESP zu wählen? Dementsprechend berechnet sich die gesuchte Wahrscheinlichkeit mittels
   Die Wahrscheinlichkeit, dass sich unter den zufällig ausgewählten Autos genau mit ESP befinden, beträgt ungefähr .