Abi Bayern 2017 Stochastik A2

Aufgabe

Aufgabe 1

1. Nebenstehende Vierfeldertafel gehört zu einem Zufallsexperiment mit den stochastisch unabhängigen Ereignissen und . Tragen Sie alle fehlenden Wahrscheinlichkeiten ein.

2. Im Vorfeld einer Wahl wird eine wahlberechtigte Person zufällig ausgewählt und befragt. Betrachtet werden folgende Ereignisse:

   • : "Die Person ist älter als 50 Jahre."
   • : "Die Person will die derzeitige Regierungspartei wählen."

   Erläutern Sie, was in diesem Sachzusammenhang eine stochastische Unabhängigkeit der Ereignisse und bedeuten würde.

   (2 BE)

Aufgabe 2

Schwarze und weiße Kugeln sind wie folgt auf drei Urnen verteilt:

1. Aus Urne A wird zunächst eine Kugel zufällig entnommen und in Urne B gelegt. Anschließend wird aus Urne B eine Kugel zufällig entnommen und in Urne C gelegt. Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass sich danach in Urne C zwei weiße Kugeln und eine schwarze Kugel befinden.
   (2 BE)
2. Die drei Urnen mit den in der Abbildung dargestellten Inhalten bilden den Ausgangspunkt für folgendes Spiel:
   "Es wird zunächst ein Einsatz von 1 € eingezahlt. Anschließend wird eine der drei Urnen zufällig ausgewählt und danach aus dieser Urne eine Kugel zufällig gezogen. Nur dann, wenn diese Kugel schwarz ist, wird ein bestimmter Geldbetrag ausgezahlt."
   Ermitteln Sie, wie groß dieser Geldbetrag sein muss, damit bei diesem Spiel auf lange Sicht Einsätze und Auszahlungen ausgeglichen sind.
   (3 BE)

Lösung

Lösung zu Aufgabe 1

1. Ohne die Bedingung, dass und stochastisch unabhängig sein sollen, kann man die Vierfeldertafel bis zu diesem Stadium ausfüllen:
   
   Die Bedingung der stochastischen Unabhängigkeit bedeutet, dass gelten muss:
   Der Vierfeldertafel entnimmt man die folgenden Werte:
   Folglich ist:
   Dieses Ergebnis kann in die Vierfeldertafel für eingesetzt und die restlichen Werte ergänzt werden:

2. In diesem Zusammenhang würde die stochastische Unabhängigkeit der Ereignisse C und D bedeuten, dass die Prozentzahl derer, die die derzeitige Regierungspartei wählen würden bei den unter -jährigen genau so groß ist wie bei den über -jährigen. Es gilt:

   Alternativer Weg
   Die Wahrscheinlichkeit, dass eine zufällig ausgewählte wahlberechtigte Person die Regierungspartei wählen würde, ist unabhängig von der Zugehörigkeit dieser Person zur Gruppe der über 50-Jährigen.

Lösung zu Aufgabe 2

1. Das folgende Baumdiagramm veranschaulicht die Situation.

   Die erste Stufe steht für die Urne A, die Wahrscheinlichkeit aus dieser eine schwarze beziehungsweise eine weiße Kugel zu ziehen beträgt . Die zweite Stufe des Baumdiagramms steht für die Urne B, hier sind die Wahrscheinlichkeiten abhängig von der ersten Stufe. Um die Wahrscheinlichkeit zu bestimmen, dass am Ende in Urne C zwei weiße und eine schwarze Kugel liegen, muss man nun alle Wahrscheinlichkeiten derjenigen Äste addieren, die zum Ereignis führen:
   Die Wahrscheinlichkeit, dass sich am Ende zwei weiße und eine schwarze Kugel in Urne C befinden, beträgt .

2. Diese Aufgabenstellung beschäftigt sich mit dem Erwartungswert. Zunächst muss man jedoch bestimmen, wie groß die Wahrscheinlichkeit in diesem Spiel ist, eine schwarze Kugel zu ziehen. Da die Urne, aus welcher gezogen wird zufällig ausgewählt wird, beträgt die Wahrscheinlichkeit für jede Urne . Insgesamt gilt also für :

   Der Erwartungswert soll laut Aufgabenstellung gleich Null sein und wird über folgende Formel berechnet:
   Die Zufallsgröße ist hier der Gewinn beziehungsweise Verlust. Bekannt ist, dass man im Falle eines Verlustes seinen Einsatz, also Euro verliert. Der Gewinn im gegenteiligen Fall ist gesucht. Es gilt also:
   Damit das Spiel fair ist, müsste man also Euro gewinnen und zusätzlich seinen Einsatz zurück erhalten. Ausgezahlt werden muss in diesem Falle also ein Geldbetrag von Euro.