Abi Bayern 2017 Stochastik A1

Aufgabe

Aufgabe 1

Ein Glücksrad hat drei Sektoren, einen blauen, einen gelben und einen roten. Diese sind unterschiedlich groß. Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass beim einmaligen Drehen der blaue Sektor getroffen wird, beträgt .

1. Interpretieren Sie den Term im Sachzusammenhang.
   (2 BE)
2. Das Glücksrad wird zehnmal gedreht. Geben Sie einen Term an, mit dem die Wahrscheinlichkeit dafür berechnet werden kann, dass der blaue Sektor genau zweimal getroffen wird.
   (1 BE)
3. Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass beim einmaligen Drehen der gelbe Sektor getroffen wird, beträgt . Felix hat 100 Drehungen des Glücksrads beobachtet und festgestellt, dass bei diesen der Anteil der Drehungen, bei denen der gelbe Sektor getroffen wurde, deutlich geringer als war. Er folgert: "Der Anteil der Drehungen, bei denen der gelbe Sektor getroffen wird, muss also bei den nächsten 100 Drehungen deutlich größer als sein." Beurteilen Sie die Aussage von Felix.
   (2 BE)
4. Das Glücksrad wird viermal gedreht und die Abfolge der Farben als Ergebnis notiert. Bestimmen Sie die Anzahl der möglichen Ergebnisse, in denen die Farbe Blau nicht vorkommt.
   (2 BE)

Aufgabe 2

In der Abbildung ist die Wahrscheinlichkeitsverteilung einer Zufallsgröße mit der Wertemenge und dem Erwartungswert 2 dargestellt. Weisen Sie nach, dass es sich dabei nicht um eine Binomialverteilung handeln kann.

Lösung

Lösung zu Aufgabe 1

1. Wenn die Wahrscheinlichkeit beschreibt, dass beim einmaligen Drehen des Glücksrades der blaue Sektor getroffen wird, dann beschreibt die Wahrscheinlichkeit, dass der blaue Sektor nicht getroffen wird.
   Daher beschreibt der Term die Wahrscheinlichkeit, dass bei siebenmaligem Drehen keinmal der blaue Sektor getroffen wird.
2. Die Wahrscheinlichkeit für das Erdrehen einer Farbe ist gleichbleibend und das Erdrehen einer Farbe ist unabhängig von den bis dahin erdrehten Farben. Damit handelt sich um eine binomialverteilte Zufallsgröße mit und unbekannter Wahrscheinlichkeit . Insofern gilt für die Wahrscheinlichkeit, dass bei zehnmaligem Drehen des Glücksrades genau zweimal der blaue Sektor getroffen wird:
3. Da das Glücksrad kein Gedächtnis hat, hat die Vergangenheit keinen Einfluss auf zukünftige Drehungen. Wenn die Wahrscheinlichkeit für ein Treffen des gelben Sektors tatsächlich bei liegt, so liegt sie auch bei den nächsten Drehungen dort. Felix Aussage ist also falsch.
4. Dies ist eine Aufgabenstellung aus dem Bereich der Kombinatorik. Es handelt sich um nicht sehr viele Möglichkeiten, im Zweifelsfall kann man einfach alle aufschreiben und zählen ((r,r,r,r), (r,r,r,g), ...).
   Besser ist es natürlich, eine Möglichkeit der Berechnung zur Verfügung zu haben. Analog zu einem Passwort mit vier Buchstaben, bei dem man aber nur zwei verschiedene Buchstaben benutzen darf (nämlich r für rot und g für gelb) gibt es für jede der vier Stellen genau Möglichkeiten. Die Gesamtzahl an Möglichkeiten ergibt sich also zu:

Lösung zu Aufgabe 2

Angenommen, es würde sich um eine binomialverteilte Zufallsgröße handeln. Aus der Aufgabenstellung kann man ablesen. Für eine binomialverteilte Zufallsgröße gilt:

Alternativer Weg
Das Diagramm widerspricht der, für eine Binomialverteilung geltenden, Bedingung