Abi Bayern 2017 Geometrie A2

Aufgabe

Aufgabe 1

Gegeben sind die beiden bezüglich der -Ebene symmetrisch liegenden Punkte und sowie der Punkt .

1. Weisen Sie nach, dass das Dreieck bei rechtwinklig ist.
   (3 BE)
2. Geben Sie die Koordinaten eines weiteren Punkts der -Achse an, so dass das Dreieck bei rechtwinklig ist. Begründen Sie Ihre Antwort.
   (2 BE)

Aufgabe 2

Gegeben ist die Ebene .

1. Der Schnittpunkt von mit der -Achse, der Schnittpunkt von mit der -Achse und der Koordinatenursprung sind die Eckpunkte eines Dreiecks. Bestimmen Sie den Flächeninhalt dieses Dreiecks.
   (2 BE)
2. Ermitteln Sie die Koordinaten des Vektors, der sowohl ein Normalenvektor von als auch der Ortsvektor eines Punktes der Ebene ist.
   (3 BE)

Lösung

Lösung zu Aufgabe 1

1. Zunächst werden die Verbindungsvektoren der drei Eckpunkte des Dreiecks bestimmt:
   Nun kann auf Orthogonalität geprüft werden:
   Das Dreieck ist somit rechtwinklig im Punkt .
2. Die Punkte und sind Spiegelpunkte bezüglich der -Ebene, insofern muss aus Symmetriegründen der Spiegelpunkt von bezüglich dieser Ebene sein. Damit folgt .
   Die rechnerische Überprüfung der Rechtwinkligkeit bestätigt dies:

Lösung zu Aufgabe 2

Diese Aufgabe entspricht Aufgabe 2 aus Aufgabengruppe 1, daher werden hier nur die Ergebnisse angegeben. Die ausführlichen Lösungen dazu sind an dieser Stelle zu finden.

1. Der Flächeninhalt des Dreiecks beträgt .
2. Der gesuchte Vektor, der sowohl ein Normalenvektor, als auch ein Ortsvektor eines Punktes der Ebene ist, lautet: