Abi Bayern 2017 Analysis B2

Aufgabe

Aufgabe 1

Gegeben ist die Funktion mit und . Abbildung 1 zeigt den Graphen von sowie die einzige Nullstelle von .

1. Zeigen Sie, dass für den Term der Ableitungsfunktion von gilt:
   (3 BE)
2. Bestimmen Sie rechnerisch Lage und Art des Extrempunkts von .
   Teilergebnis: -Koordinate des Extrempunktes:
   (4 BE)

Zusätzlich ist die Funktion mit und gegeben.

3. Zeigen Sie, dass eine Stammfunktion von ist, und begründen Sie anhand des Terms von , dass gilt.
   (3 BE)
4. Der Graph von verläuft durch den Punkt . Begründen Sie ohne weitere Rechnung, dass keine größeren Werte als annehmen kann und bei eine Wendestelle besitzt. Berechnen Sie die -Koordinate des zugehörigen Wendepunkts.
   (5 BE)
5. Zeichnen Sie den Graphen von unter Berücksichtigung der bisherigen Ergebnisse sowie des Funktionswerts im Bereich in Abbildung 1 ein.
   (4 BE)
6. Der Graph von schließt mit den Koordinatenachsen ein Flächenstück ein, das durch das Dreieck mit den Eckpunkten , und angenähert werden kann. Berechnen Sie, um wie viel Prozent der Flächeninhalt des Dreiecks vom Inhalt des Flächenstücks abweicht.
   (4 BE)

Betrachtet wird nun die Integralfunktion mit und .

7. Begründen Sie, dass mit der betrachteten Stammfunktion von übereinstimmt. Interpretieren Sie geometrisch den Wert mithilfe von in Abbildung 1 geeignet zu markierenden Flächenstücken.

   (4 BE)

8. Geben Sie den Term einer in definierten Funktion an, die eine Stammfunktion, aber keine Integralfunktion von ist.

   (2 BE)

Aufgabe 2

Zur Modellierung einer Zerfallsreihe wird vereinfachend davon ausgegangen, dass sich in einem Gefäß zu Beginn eines Beobachtungszeitraums ausschließlich der radioaktive Stoff Bi 211 befindet.
Jeder Atomkern dieses Stoffs Bi 211 wandelt sich irgendwann in einen Kern des radioaktiven Stoffs Tl 207 um und dieser wiederum irgendwann in einen Kern des Stoffs Pb 207. Abbildung 2 zeigt diese Zerfallsreihe schematisch.

1. Bestimmen Sie jeweils auf zehntel Prozent genau die Anteile der drei Kernsorten zwölf Minuten nach Beobachtungsbeginn.

   (4 BE)

2. Ermitteln Sie unter Verwendung von Ergebnissen aus Aufgabe 1 den Zeitpunkt auf Sekunden genau, zu dem der Anteil von Tl 207-Kernen im Gefäß am größten ist.

   (2 BE)

3. Begründen Sie rechnerisch, dass zu keinem Zeitpunkt die Anteile der drei Kernsorten gleich groß sind.

   (3 BE)

4. Weisen Sie mithilfe des Terms der Funktion nach, dass gilt, und interpretieren Sie diesen Grenzwert im Sachzusammenhang.

   (2 BE)

Lösung

Lösung zu Aufgabe 1

1. Die Funktion ist definiert als

   Für die Ableitung gilt nach der Kettenregel:
   Dies entspricht genau der Aussage dieses Aufgabenteils.

   Alternativer Weg
   Die Funktion kann mithilfe der Produkt- und der Kettenregel abgeleitet werden:

   Dies entspricht genau der Aussage dieses Aufgabenteils.

2. Extremstellen

   An Extremstellen des Graphen von , besitzt dieser eine waagrechte Tangente. Gesucht sind damit die Nullstellen der Ableitung , also die Lösungen der Gleichung

   Nach dem Satz vom Nullprodukt ist ein Produkt genau dann Null, wenn einer der Faktoren Null ist. Die Nullstellen sind also gegeben durch die Lösungen von
   Die Exponentialfunktion hat keine Nullstellen, die Gleichung
   hat also keine Lösung. Für die verbleibende Gleichung gilt:

   Art des Extremums

   Nun muss noch die Art des Extremums bestimmt werden. Hierzu wird zunächst die zweite Ableitung von bestimmt. Es gilt:

   und damit:
   Der Graph hat an der Stelle also einen Tiefpunkt.

   Alternativer Weg
   Die Ableitung hat an der Stelle eine Nullstelle, die auf Vorzeichenwechsel untersucht wird. Es gelten:

   Die Funktion hat an der Stelle eine Nullstelle mit Vorzeichenwechsel von nach und der Graph von an dieser Stelle einen Tiefpunkt.

   Koordinaten des Extrempunktes

   Es gilt:

   Der Graph hat den Tiefpunkt .

3. Begründung, dass Stammfunktion von ist

   Die Funktion ist gegeben durch

   Falls die Funktion eine Stammfunktion von ist, so muss für alle die Beziehung gelten. Daher wird nun die Ableitung von gebildet:
   Damit ist die Funktion eine Stammfunktion von .

   Alternativer Weg
   Der Funktionsterm von kann in der Form

   geschrieben werden.

   Jetzt kann mithilfe von Integrationsregeln eine Stammfunktion von gebildet werden. Es gilt für alle

   Begründung für

   Es gelten:

   und folglich mithilfe der Grenzwertsätze

4. größter Wert der Funktion

   Aus Abbildung 1 kann abgelesen werden, dass der Graph von an der Stelle eine Nullstelle mit Vorzeichenwechsel von nach besitzt. Diese Nullstelle ist laut Aufgabenstellung auch die einzige Nullstelle von .

   Der Graph der Stammfunktion hat damit an der Stelle einen globalen Hochpunkt, welcher auch dessen einziger Extrempunkt ist. Außerdem verläuft der Graph von durch den Punkt . Damit kann die Funktion keine größeren Werte als annehmen.

   ist Wendestelle des Graphen von ist

   In Aufgabenteil b) wurde gezeigt, dass der Graph von an der Stelle einen Tiefpunkt besitzt. Die Funktion ist eine Stammfunktion von und damit besitzt der Graph von an der Stelle eine Wendestelle.

   Koordinaten des Wendepunktes

   Es gilt:

   Die Koordinaten des Wendepunktes lauten also .

5. Es gilt:

   Der Graph von verläuft also durch den Ursprung und die Punkte und . Weitere Extrem- oder Wendepunkte besitzt der Graph nicht.

   Er verläuft also im Bereich monoton steigend und im Bereich monoton fallend. In Teilaufgabe c) wurde gezeigt, dass

   gilt. Damit ist die Gerade mit der Gleichung eine waagrechte Asymptote des Graphen von .

   Damit kann nun der Graph von in das Schaubild eingezeichnet werden.

6. Flächeninhalt des vom Graphen und den Koordinatenachsen eingeschlossenen Flächenstückes

   Im nachfolgenden Schaubild ist das von den Koordinatenachsen und dem Graphen eingeschlossene Flächenstück grau gefüllt.

   Der Flächeninhalt des grau gefärbten Flächenstückes ist gegeben durch:
   Die Funktion ist eine Stammfunktion von und somit kann geschrieben werden als:
   Das Flächenstück hat also einen Flächeninhalt von .

   Flächeninhalt des Dreiecks

   Gegeben sind die Punkte , und . Die Fläche des Dreiecks ist gegeben durch

   Vergleich der Flächeninhalte und

   Nun wird die prozentuale Abweichung des Flächeninhalts der Dreiecksfläche vom Flächeninhalt der Fläche, welche der Graph mit den Koordinatenachsen einschließt, bestimmt:

   Der Flächeninhalt Dreiecksfläche ist damit ungefähr größer als die der Flächeninhalte .

7. Die Integralfunktion ist definiert als

   Begründung für

   Sowohl die Funktion als auch die Funktion sind Stammfunktionen von . Es gibt also eine Konstante , sodass gilt

   Außerdem gelten:
   Also:
   Damit stimmen die Funktionen und überein.

   Alternativer Weg
   Wegen gilt mithilfe der Integralformel

   für alle . Damit stimmen die Funktionen und überein.

   Bedeutung des Wertes

   Der Wert entspricht dem orientierten Flächeninhalt, welcher der Graph von im Intervall mit der -Achse einschließt. Diese Fläche ist im nachfolgenden Schaubild grau gefärbt.

   Es gilt laut Aufgabenstellung

   Der Flächeninhalt der heller gefärbten Fläche zwischen dem Graphen und der -Achse im Intervall ist damit ungefähr größer als der Flächeninhalt der dunkel gefärbten Fläche zwischen dem Graphen und der -Achse.

8. Jede Integralfunktion ist nach dem Hauptsatz der Differentialrechnung eine Stammfunktion, aber nicht jede Stammfunktion lässt sich als Integralfunktion

   darstellen.

   Da jede Integralfunktion mindestens eine Nullstelle besitzt genügt die Angabe einer in definierten Stammfunktion von , die keine Nullstelle besitzt. Nach Teilaufgabe d) ist der der größte Wert der Stammfunktion genau , und ist die einzige Nullstelle von . Wird nun der Graph von zum Beispiel um in negative -Richtung, also nach unten, verschoben, so ist der zugehörige Funktionsterm

   Folglich ist die Funktion mit
   eine in definierte Stammfunktion, die keine Nullstelle besitzt und damit keine Integralfunktion ist.

Lösung zu Aufgabe 2

1. Gesucht sind die Anteile der drei Kernsorten zwölf Minuten nach Beobachtungsbeginn. Die Variable beschreibt die vergangene Zeit in der Einheit Minuten nach Beobachtungsbeginn. Zwölf Minuten nach Beobachtungsbeginn entspricht damit .

   Der Anteil der Bi 211-Kerne zwölf Minuten nach Beobachtungsbeginn ist gegeben durch:

   Der Anteil der Tl 207-Kerne zwölf Minuten nach Beobachtungsbeginn ist gegeben durch:

   Damit ist der Anteil der Pb 207-Kerne zwölf Minuten nach Beobachtungsbeginn gegeben durch:

   Die Anteile der drei Kernsorten zwölf Minuten nach Beobachtungsbeginn sind also:

2. In Aufgabe 1 wurde gezeigt, dass die Funktion an der Stelle ein Maximum besitzt. Der Anteil der Tl 207-Kerne ist als zum Zeitpunkt am größten. Die Variable bezeichnet die seit Beobachtungsbeginn vergangene Zeit in der Einheit 6 Minuten beziehungsweise 360 Sekunden.
   Somit ist der Anteil der Tl 207-Kerne nach Sekunden, also 2 Minuten und 10 Sekunden nach Beobachtungsbeginn am größten.

3. Zu zeigen ist, dass die Anteile der drei Kernsorten zu keinem Zeitpunkt gleich groß sind. Dafür wird zunächst derjenige Zeitpunkt bestimmt, an dem die Anteile der beiden Kernsorten Bi 211 und Tl 207 gleich groß sind.
   Gesucht sind also die Lösungen der Gleichung

   Nun wird überprüft, wie groß der Anteil dieser beiden Kernsorten zu diesem Zeitpunkt war. Es gilt:
   Falls nun zu einem Zeitpunkt alle drei Kernsorten zu gleichen Anteilen in dem Gefäß enthalten sind, so müssen die Anteile für jede Sorte bei liegen. Die Anteile der Bi 211 und Tl 207 sind zum Zeitpunkt gleich groß und zwar jeweils
   Der Anteil der Pb 207-Kerne ist dann:
   Somit können in dem Gefäß zu keinem Zeitpunkt die Anteile der drei Kernsorten gleich groß sein.

4. Für die Funktion gilt:

   Es gelten:
   und damit
   Es gilt also:
   Dies bedeutet, dass langfristig im Gefäß nur noch Pb 207-Kerne sein werden. Damit ist das stabile Ende des radioaktiven Prozesses erreicht.