Abi Bayern 2017 Analysis A2

Aufgabe

Aufgabe 1

Gegeben ist die Funktion mit und maximalem Definitionsbereich . Der Graph von wird mit bezeichnet.

1. Geben Sie und die Koordinaten der Schnittpunkte von mit den Koordinatenachsen an.

   (3 BE)

2. Zeigen Sie, dass zum Term äquivalent ist, und geben Sie die Bedeutung der Geraden mit der Gleichung für an.

   (3 BE)

Aufgabe 2

Eine Funktion ist durch mit gegeben.

1. Ermitteln Sie die Nullstelle der Funktion .
   (2 BE)
2. Die Tangente an den Graphen von im Punkt begrenzt mit den beiden Koordinatenachsen ein Dreieck. Weisen Sie nach, dass dieses Dreieck gleichschenklig ist.
   (3 BE)

Aufgabe 3

Die Abbildung zeigt den Graphen der in definierten Funktion

1. Geben Sie , und an.
   (3 BE)
2. Der Graph der Funktion geht aus dem Graphen der Funktion durch Verschiebung um zwei Einheiten in positive -Richtung hervor. Geben Sie einen möglichen Funktionsterm von an.
   (1 BE)

Aufgabe 4

An einer Messstation wurde über einen Zeitraum von 10 Stunden die Anzahl der Pollen in einem Kubikmeter Luft ermittelt. Dabei kann die Anzahl der Pollen in einem Kubikmeter Luft zum Zeitpunkt (in Stunden nach Beginn der Messung) durch die Gleichung beschrieben werden.

1. Bestimmen Sie die mittlere Änderungsrate der Anzahl der Pollen in einem Kubikmeter Luft während der ersten beiden Stunden der Messung.

   (3 BE)

2. Ermitteln Sie den Zeitpunkt nach Beginn der Messung, zu dem die momentane Änderungsrate der Anzahl der Pollen in einem Kubikmeter Luft beträgt.

   (2 BE)

Lösung

Lösung zu Aufgabe 1

Die Funktion ist gegeben durch

1. Der Term im Nenner darf nicht Null werden, also:

   Weitere Einschränkungen gibt es nicht, also gilt für die Definitionsmenge . Der Schnittpunkt von mit der -Achse ist gegeben durch , also:
   Die Nullstellen von sind gegeben durch die Lösungen der Gleichung
   Die Schnittpunkte von mit den Koordinatenachsen sind gegeben durch:

2. Es gilt:

   Der Funktionsterm von ist also äquivalent zu
   Für gilt:
   Damit ist eine Gleichung für die schräge Asymptote von .

   Alternativer Weg
   Für den Term der Funktion gilt:

   Nun kann eine Polynomdivision mit Rest durchgeführt werden.

   Es gilt:

   Der Funktionsterm von ist also äquivalent zu
   Für gilt:
   Damit ist eine Gleichung für die schräge Asymptote von .

Lösung zu Aufgabe 2

Diese Aufgabe entspricht Aufgabe 2 aus Aufgabengruppe 1, daher werden hier nur die Ergebnisse angegeben. Die ausführlichen Lösungen sind auf Seite Analysis A1 Aufgabe 2 im Abitur 2017 zu finden.

1. Die Nullstelle von ist .
2. Das von den Koordinatenachsen und der Tangente eingeschlossene Dreieck hat die Eckpunkte , und und somit sind zwei Seiten des Dreiecks jeweils eine Längeneinheit lang. Das Dreieck ist also gleichschenklig.

Lösung zu Aufgabe 3

1. Die Abbildung zeigt den Graphen einer Sinusfunktion, diesem können folgende Eigenschaften entnommen werden:

   • Die Differenz der -Werte zwischen einem Hochpunkt und einem Tiefpunkt beträgt 4 Längeneinheiten. Die Amplitude beträgt also 2.
   • Die Periodenlänge beträgt 10 Längeneinheiten. Der Faktor vor dem ist .
   • Der Schnittpunkt des Graphen mit der -Achse ist gegeben durch .

   Somit ist die dem Graphen zugehörige Funktionsgleichung gegeben durch:

   Damit sind die gesuchten Werte der Parameter , und :

2. Der Graph der Funktion wird um 2 Längeneinheiten in positive -Richtung verschoben und entspricht dann dem Graphen von . Der Funktionsterm von ist dann gegeben durch:

Lösung zu Aufgabe 4

Diese Aufgabe entspricht Aufgabe 4 aus Aufgabengruppe 1, daher werden hier nur die Ergebnisse angegeben. Die ausführlichen Lösungen sind auf Seite Analysis Aufgabe 4 im Abitur 2017 zu finden.

1. Die mittlere Änderungsrate der Anzahl der Pollen während der ersten beiden Stunden ist gegeben durch:

   Somit nimmt die Anzahl der Pollen in den ersten beiden Stunden im Schnitt um Pollen pro Stunde und Kubikmeter Luft ab.

2. Gesucht ist die Lösung der Gleichung

   Fünf Stunden nach Beginn der Messung beträgt also die momentane Änderungsrate der Pollen in einem Kubikmeter .