Videolösungen
Aufgabe
Aufgabe 1
Gegeben ist die Funktion
Geben Sie
und die Koordinaten der Schnittpunkte von mit den Koordinatenachsen an. (3 BE)Zeigen Sie, dass
zum Term äquivalent ist, und geben Sie die Bedeutung der Geraden mit der Gleichung für an. (3 BE)
Aufgabe 2
Eine Funktion
- Ermitteln Sie die Nullstelle der Funktion
. (2 BE) - Die Tangente an den Graphen von
im Punkt begrenzt mit den beiden Koordinatenachsen ein Dreieck. Weisen Sie nach, dass dieses Dreieck gleichschenklig ist. (3 BE)
Aufgabe 3
Die Abbildung zeigt den Graphen der in
- Geben Sie
, und an. (3 BE) - Der Graph der Funktion
geht aus dem Graphen der Funktion durch Verschiebung um zwei Einheiten in positive -Richtung hervor. Geben Sie einen möglichen Funktionsterm von an. (1 BE)
Aufgabe 4
An einer Messstation wurde über einen Zeitraum von 10 Stunden
die Anzahl der Pollen in einem Kubikmeter Luft ermittelt.
Dabei kann die Anzahl der Pollen in einem Kubikmeter Luft
zum Zeitpunkt
Bestimmen Sie die mittlere Änderungsrate der Anzahl der Pollen in einem Kubikmeter Luft während der ersten beiden Stunden der Messung.
(3 BE)Ermitteln Sie den Zeitpunkt nach Beginn der Messung, zu dem die momentane Änderungsrate der Anzahl der Pollen in einem Kubikmeter Luft
beträgt. (2 BE)
Lösung
Lösung zu Aufgabe 1
Die Funktion
Der Term im Nenner darf nicht Null werden, also:
Weitere Einschränkungen gibt es nicht, also gilt für die Definitionsmenge. Der Schnittpunkt von mit der -Achse ist gegeben durch , also: Die Nullstellen vonsind gegeben durch die Lösungen der Gleichung Die Schnittpunkte vonmit den Koordinatenachsen sind gegeben durch: Es gilt:
Der Funktionsterm vonist also äquivalent zu Fürgilt: Damit isteine Gleichung für die schräge Asymptote von .
Alternative:
Für den Term der Funktion
Es gilt:
Lösung zu Aufgabe 2
Diese Aufgabe entspricht Aufgabe 2 aus Aufgabengruppe 1, daher werden hier nur die Ergebnisse angegeben. Die ausführlichen Lösungen sind auf Seite Analysis A1 Aufgabe 2 im Abitur 2017 zu finden.
- Die Nullstelle von
ist . - Das von den Koordinatenachsen und der Tangente
eingeschlossene Dreieck hat die Eckpunkte , und und somit sind zwei Seiten des Dreiecks jeweils eine Längeneinheit lang. Das Dreieck ist also gleichschenklig.
Lösung zu Aufgabe 3
Die Abbildung zeigt den Graphen einer Sinusfunktion, diesem können folgende Eigenschaften entnommen werden:
- Die Differenz der
-Werte zwischen einem Hochpunkt und einem Tiefpunkt beträgt 4 Längeneinheiten. Die Amplitude beträgt also 2. - Die Periodenlänge beträgt 10 Längeneinheiten.
Der Faktor vor dem
ist . - Der Schnittpunkt des Graphen mit der
-Achse ist gegeben durch .
Somit ist die dem Graphen zugehörige Funktionsgleichung gegeben durch:
Damit sind die gesuchten Werte der Parameter, und : - Die Differenz der
Der Graph der Funktion
wird um 2 Längeneinheiten in positive -Richtung verschoben und entspricht dann dem Graphen von . Der Funktionsterm von ist dann gegeben durch:
Lösung zu Aufgabe 4
Diese Aufgabe entspricht Aufgabe 4 aus Aufgabengruppe 1, daher werden hier nur die Ergebnisse angegeben. Die ausführlichen Lösungen sind auf Seite Analysis Aufgabe 4 im Abitur 2017 zu finden.
Die mittlere Änderungsrate
der Anzahl der Pollen während der ersten beiden Stunden ist gegeben durch: Somit nimmt die Anzahl der Pollen in den ersten beiden Stunden im Schnitt umPollen pro Stunde und Kubikmeter Luft ab. Gesucht ist die Lösung der Gleichung
Fünf Stunden nach Beginn der Messung beträgt also die momentane Änderungsrate der Pollen in einem Kubikmeter.