Abi Bayern 2017 Analysis A1

Aufgabe 1

Gegeben ist die Funktion mit maximaler Definitionsmenge . Der Graph von wird mit bezeichnet.

1. Geben Sie und die Koordinaten des Schnittpunkts von mit der -Achse an.

2. Beschreiben Sie, wie schrittweise aus dem Graphen der in definierten Funktion hervorgeht, und geben Sie die Wertemenge von an.

Aufgabe 2

Eine Funktion ist durch mit gegeben.

1. Ermitteln Sie die Nullstelle der Funktion .

2. Die Tangente an den Graphen von im Punkt begrenzt mit den beiden Koordinatenachsen ein Dreieck. Weisen Sie nach, dass dieses Dreieck gleichschenklig ist.

Aufgabe 3

Geben Sie jeweils den Term einer Funktion an, die über ihrer maximalen Definitionsmenge die angegebenen Eigenschaften besitzt.

1. Der Graph der Funktion ist achsensymmetrisch zur -Achse und die Gerade mit der Gleichung ist eine senkrechte Asymptote.

2. Die Funktion ist nicht konstant und es gilt:

Aufgabe 4

An einer Messstation wurde über einen Zeitraum von 10 Stunden die Anzahl der Pollen in einem Kubikmeter Luft ermittelt. Dabei kann die Anzahl der Pollen in einem Kubikmeter Luft zum Zeitpunkt (in Stunden nach Beginn der Messung) durch die Gleichung beschrieben werden.

1. Bestimmen Sie die mittlere Änderungsrate der Anzahl der Pollen in einem Kubikmeter Luft während der ersten beiden Stunden der Messung.

2. Ermitteln Sie den Zeitpunkt nach Beginn der Messung, zu dem die momentane Änderungsrate der Anzahl der Pollen in einem Kubikmeter Luft beträgt.

Lösung

Lösung zu Aufgabe 1

1. Zunächst darf der Term unter der Wurzel, der Radikand, nicht negativ sein. Es muss also gelten:
   

   Weitere Einschränkungen gibt es nicht, sodass für den maximalen Definitionsbereich gilt: .

   Für alle Punkte der -Achse gilt , der Schnittpunkt von mit der -Achse ist also gegeben durch . Wegen

   lauten die Koordinaten des gesuchten Schnittpunktes .

2. Der Graph der Funktion wird im Folgenden mit bezeichnet.

   • Zunächst wird der Graph um 4 Einheiten nach links verschoben. Dieser Graph gehört zur Funktion .
   • Der Graph von wird wiederum mit dem Faktor 2 in -Richtung gestreckt. Dieser Graph gehört dann zur Funktion .
   • Der Graph von wird anschließend noch um 1 Längeneinheit nach unten verschoben. Dieser Graph gehört dann zur Funktion .

Lösung zu Aufgabe 2

1. Die Funktion ist gegeben durch
   Die Nullstelle der Funktion ist gegeben durch die Lösung der Gleichung
   Die Nullstelle von ist .
2. Zunächst wird die Gleichung der Tangente an den Graphen von im Punkt bestimmt. Die Ableitung der Funktion ist gegeben durch:
   Die Steigung der Tangente im Punkt ist gegeben durch:
   Also besitzt die Tangente die Gleichung
   Um den Wert des -Achsenabschnitts zu bestimmen, wird eine Punktprobe mit dem Punkt durchgeführt:
   Die gesuchte Tangente hat also die Gleichung
   Im folgenden Schaubild sind sowohl der Graph von als auch die Tangente skizziert.
   Das von den Koordinatenachsen und der Tangente eingeschlossene Dreieck hat die Eckpunkte , und und somit sind zwei Seiten des Dreiecks jeweils eine Längeneinheit lang. Das Dreieck ist also gleichschenklig.

Lösung zu Aufgabe 3

1. Gesucht wird der Term einer Funktion , deren Graph achsensymmetrisch zur -Achse ist und die Gerade mit der Gleichung als senkrechte Asymptote hat. Es gilt:

   • Der Graph hat eine senkrechte Asymptote, die Funktion hat also eine Definitionslücke an der Stelle .
   • Der Graph ist achsensymmetrisch zur -Achse und die Gerade mit der Gleichung ist senkrechte Asymptote. Damit ist auch die Gerade mit der Gleichung eine senkrechte Asymptote des Graphen von .

   Die Funktion könnte eine gebrochenrationale Funktion sein. Der Nenner des Funktionsterms enthält dann auf jeden Fall den Term . Weitere Anforderungen für den Graphen der Funktion werden nicht gestellt. Eine mögliche Funktionsgleichung für ist die folgende:

   Alternativer Weg 1
   Der Funktionsterm für kann auch folgende Gestalt haben:

   wobei der Graph der Funktion achsensymmetrisch zur -Achse und der Definitionsbereich von die Menge enthalten muss.

   Alternativer Weg 2
   Die Funktion muss keine gebrochenrationale Funktion sein und kann zum Beispiel auch folgende Gestalt haben:

2. Gesucht wird der Term einer Funktion , welche nicht konstant ist, und für die gilt:

   Der Graph der Funktion schließt also im Intervall mit der -Achse mindestens zwei Flächenstücke so ein, dass die eingeschlossene Fläche unterhalb der -Achse genauso groß ist wie die Fläche oberhalb der -Achse. Eine mögliche Funktionsgleichung ist gegeben durch:

   Alternativer Weg 1
   Der Funktionsterm für kann auch folgende Gestalt haben:

   Alternative Weg 2
   Jede Funktion , deren Graph aus dem zum Ursprung punktsymmetrischen Graphen einer Funktion durch Verschiebung um 1 Längeneinheit in positiver -Richtung entsteht, erfüllt die geforderte Bedingung.

Lösung zu Aufgabe 4

Die Anzahl der Pollen in einem Kubikmeter Luft, in Stunden nach Beginn der Messung, ist gegeben durch die Funktion mit

1. Die mittlere Änderungsrate der Anzahl der Pollen während der ersten beiden Stunden ist gegeben durch:

   Somit nimmt die Anzahl der Pollen in den ersten beiden Stunden im Schnitt um Pollen pro Stunde und Kubikmeter Luft ab.

2. Gesucht ist der Zeitpunkt, zu dem die momentane Änderungsrate der Pollen in einem Kubikmeter beträgt. Die momentane Änderungsrate der Pollen pro Kubikmeter Luft wird beschrieben durch die Ableitung der Funktion , also:

   Gesucht ist nun die Lösung der Gleichung
   Fünf Stunden nach Beginn der Messung beträgt die momentane Änderungsrate der Pollen in einem Kubikmeter .