Abi Bayern 2016 Stochastik B2

Aufgabe

Aufgabe 1

Nach einem Bericht zur Allergieforschung aus dem Jahr 2008 litt damals in Deutschland jeder vierte bis fünfte Einwohner an einer Allergie. aller Allergiker reagierten allergisch auf Tierhaare. Kann aus diesen Aussagen gefolgert werden, dass 2008 mindestens der Einwohner Deutschlands auf Tierhaare allergisch reagierten? Begründen Sie Ihre Antwort.

Aufgabe 2

Nach einer aktuellen Erhebung leiden der Einwohner Deutschlands an einer Allergie. Aus den Einwohnern Deutschlands werden Personen zufällig ausgewählt.

1. Bestimmen Sie, wie groß mindestens sein muss, damit mit einer Wahrscheinlichkeit von mehr als mindestens eine der ausgewählten Personen an einer Allergie leidet.
   (4 BE)
2. Im Folgenden ist . Die Zufallsgröße beschreibt die Anzahl der Personen unter den ausgewählten Personen, die an einer Allergie leiden. Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass der Wert der binomialverteilten Zufallsgröße höchstens um eine Standardabweichung von ihrem Erwartungswert abweicht.
   (5 BE)

Aufgabe 3

Ein Pharmaunternehmen hat einen Hauttest zum Nachweis einer Tierhaarallergie entwickelt. Im Rahmen einer klinischen Studie zeigt sich, dass der Hauttest bei einer aus der Bevölkerung Deutschlands zufällig ausgewählten Person mit einer Wahrscheinlichkeit von ein positives Testergebnis liefert. Leidet eine Person an einer Tierhaarallergie, so ist das Testergebnis mit einer Wahrscheinlichkeit von positiv. Das Testergebnis ist jedoch bei einer Person, die nicht an einer Tierhaarallergie leidet, mit einer Wahrscheinlichkeit von ebenfalls positiv.

1. Ermitteln Sie, welcher Anteil der Bevölkerung Deutschlands demnach allergisch auf Tierhaare reagiert. [Ergebnis: ]
   (4 BE)
2. Eine aus der Bevölkerung Deutschlands zufällig ausgewählte Person wird getestet; das Testergebnis ist positiv. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass diese Person tatsächlich an einer Tierhaarallergie leidet.
   (2 BE)
3. Aus der Bevölkerung Deutschlands wird eine Person zufällig ausgewählt und getestet. Beschreiben Sie das Ereignis, dessen Wahrscheinlichkeit im Sachzusammenhang mit dem Term berechnet wird.
   (2 BE)

Lösung

Lösung zu Aufgabe 1

Jeder vierte bis fünfte Einwohner leidet an einer Allergie. Das bedeutet, dass der Anteil der Allergiker zwischen und liegt. Von diesen Allergikern reagieren allergisch auf Tierhaare. Das heißt, der Anteil der Einwohner, die auf Tierhaare allergisch reagieren, liegt zwischen

Lösung zu Aufgabe 2

1. Im Folgenden bezeichnet die Zufallsgröße die Anzahl der Personen unter den ausgewählten Personen, die an einer Allergie leiden. Es wird die kleinstmögliche Zahl gesucht, die folgende Ungleichung erfüllt:

   Nachschlagen im stochastischen Tafelwerk liefert .

   Alternativer Weg
   Die Gleichung lässt sich auch ohne stochastisches Tafelwerk lösen:

   Es soll also gelten
   Es müssen also mindestens Personen für die Befragung zufällig ausgewählt werden.

2. Erwartungswert und Standardabweichung

   Es handelt sich um eine binomialverteilte Zufallsgröße mit und . Der Erwartungswert lässt sich berechnen durch die Formel:

   Die Formel für die Standardabweichung ist:

   Wahrscheinlichkeit

   Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass der Wert von höchstens um eine Standardabweichung von ihrem Erwartungswert abweicht, lässt sich wie folgt formulieren:

   Die Wahrscheinlichkeit liegt bei ungefähr .

Lösung zu Aufgabe 3

Im Folgenden werden folgende Bezeichnungen eingeführt:

1. Nun wird der Wert ermittelt. Es gilt nach den Pfadregeln
   Die Wahrscheinlichkeit, dass der Test ein positives Ergebnis zeigt, ist laut Angabe:
   Daraus folgt:
   Der Anteil der Personen in der Bevölkerung, die an einer Tierhaarallergie leiden, beträgt somit .
2. Gesucht wird die Wahrscheinlichkeit dafür, dass eine Person bei einem positiven Testergebnis tatsächlich allergisch auf Tierhaare ist. Es handelt sich also um eine bedingte Wahrscheinlichkeit. Es gilt:
   Die Wahrscheinlichkeit beträgt ungefähr .
3. Der gegebene Term kann wie folgt aufgefasst werden:
   Somit ist es die Wahrscheinlichkeit, dass das Testergebnis falsch negativ oder falsch positiv ist. Das zugehörige Ereignis lautet: .