Abi Bayern 2016 Stochastik B1

Aufgabe

Ein Getränkehersteller führt eine Werbeaktion durch, um die Verkaufszahlen seiner Saftschorlen zu erhöhen. Bei der für die Werbeaktion produzierten zwei Millionen Flaschen wird auf der Innenseite des Verschlusses eine Marke für einen Geldgewinn angebracht. Von den Gewinnmarken sind jeweils Euro wert, der Rest ist jeweils Euro wert. Alle Flaschen der Werbeaktion werden zufällig auf Kästen verteilt. Im Folgenden werden nur Flaschen aus der Werbeaktion betrachtet.

Aufgabe 1

Es wird eine Flasche geöffnet. Betrachtet werden folgende Ereignisse:

: "Der Verschluss enthält eine Gewinnmarke."
: "Der Verschluss enthält eine Gewinnmarke im Wert von Euro."

1. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeiten und .
   (2 BE)
2. Es werden mehrere Flaschen geöffnet und für jede dieser Flaschen wird festgestellt, ob das Ereignis eintritt. Begründen Sie, dass dieses Zufallsexperiment näherungsweise durch eine Bernoullikette beschrieben werden kann.
   (2 BE)

Im Folgenden gilt beim Öffnen einer Flasche stets und .

3. Es werden nacheinander zehn Flaschen geöffnet. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass sich erstmals in der fünften Flasche eine Gewinnmarke befindet.
   (2 BE)
4. Bestimmen Sie unter Zuhilfenahme des Tafelwerks, wie viele Flaschen man mindestens öffnen muss, um mit einer Wahrscheinlichkeit von mehr als mindestens zwei Gewinnmarken zu finden.
   (4 BE)
5. Berechnen Sie den Gesamtwert der Gewinnmarken, die Kunden beim Öffnen der 20 Flaschen eines Kastens im Mittel in den Verschlüssen finden.
   (3 BE)

Nachdem die zwei Millionen Flaschen verkauft sind, wird die Werbeaktion fortgesetzt. Der Getränkehersteller verspricht, dass weiterhin jede 20. Flasche eine Gewinnmarke enthält. Aufgrund von Kundenäußerungen vermutet der Filialleiter eines Getränkemarkts jedoch, dass der Anteil der Saftschorle-Flaschen mit einer Gewinnmarke im Verschluss nun geringer als ist, und beschwert sich beim Getränkehersteller.

Aufgabe 2

Der Getränkehersteller bietet ihm an, anhand von 200 zufällig ausgewählten Flaschen einen Signifikanztest für die Nullhypothese "Die Wahrscheinlichkeit dafür, in einer Flasche eine Gewinnmarke zu finden, beträgt mindestens " auf einem Signifikanzniveau von durchzuführen. Für den Fall, dass das Ergebnis des Tests im Ablehnungsbereich der Nullhypothese liegt, verspricht der Getränkehersteller, seine Abfüllanlage zu überprüfen und die Kosten für eine Sonderwerbeaktion des Getränkemarkts zu übernehmen. Ermitteln Sie den Ablehnungsbereich der Nullhypothese und bestimmen Sie anschließend unter der Annahme, dass im Mittel nur der Saftschorle-Flaschen eine Gewinnmarke enthalten, die Wahrscheinlichkeit dafür, dass der Getränkemarkt nicht in den Genuss einer kostenlosen Sonderwerbeaktion kommt.

Lösung

Lösung zu Aufgabe 1

1. Wahrscheinlichkeit

   Es werden Millionen Flaschen produziert, davon enthalten eine Marke. Die Wahrscheinlichkeit, dass eine Flasche eine Gewinnmarke enthält, beträgt damit:

   Wahrscheinlichkeit

   Von den Gewinnmarken sind jeweils Euro wert und jeweils Euro wert. Damit ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass der Verschluss eine Gewinnmarke im Wert von Euro enthält, gegeben durch:

   Alternativer Weg
   Es werden Millionen Flaschen produziert, davon enthalten eine Gewinnmarke im Wert von Euro. Die Wahrscheinlichkeit, dass eine Flasche eine solche Gewinnmarke enthält, beträgt:

2. Beim Öffnen einer Flasche ist unter deren Deckel entweder eine Gewinnmarke enthalten oder nicht. Obwohl die Auswahl der Flaschen einem Ziehungsvorgang ohne Zurücklegen entspricht, ist die Anzahl der produzierten Flaschen so groß, dass vernachlässigt werden kann, dass sich die Gesamtzahl der Flaschen jedesmal um eine Flasche reduziert. Deshalb ist die Wahrscheinlichkeit, dass der Verschluss eine Gewinnmarke enthält, für jede Flasche näherungsweise gleich. Zudem ist die Wahrscheinlichkeit für das Vorfinden einer Gewinnmarke in einem Deckel unabhägig davon, ob in der vorherigen Flasche bereits eine Gewinnmarke im Deckel war oder nicht.
   Die Bedingungen für ein Bernoulli-Experiment sind also erfüllt.

3. In den Deckeln der ersten Flaschen sind keine Gewinnmarken vorhanden. In der Flasche befindet sich eine Gewinnmarke im Deckel. Die restlichen Verschlüsse dürfen beliebigen Inhalt haben und sind somit für die Berechnung der Wahrscheinlichkeit nicht von Bedeutung. Somit beträgt die Wahrscheinlichkeit , dass erstmals in der 5. Flasche eine Gewinnmarke enthalten ist:

4. Im Folgenden bezeichnet die Zufallsgröße die Anzahl der Gewinnmarken. Gesucht wird die kleinstmögliche Anzahl der geöffneten Flaschen , sodass mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens mindestens zwei Gewinnmarken gefunden werden. Es muss gelten:

   Es muss also gelten:
   Nachschlagen im stochastischen Tafelwerk liefert . Es müssen also mindestens Flaschen geöffnet werden, um mit einer Wahrscheinlichkeit von mehr als mindestens Gewinnmarken zu finden.

5. Sei die Zufallsgröße, die dem Öffnen einer Flasche den Gewinn im Deckel in Euro zuordnet. Dann gelten:

   Damit gilt für den Erwartungswert für den Gewinn beim Öffnen einer einzelnen Flasche:
   Somit ist der Erwartungswert für den Gewinn beim Öffnen einer Flasche Euro. Die Wahrscheinlichkeiten für die im Deckel enthaltenen Gewinne sind für alle Flaschen gleich. Der erwartete Gewinn beim Öffnen von Flaschen kann dann berechnet werden als:
   Im Mittel liegt der Gewinn beim Kauf eines Kastens mit Flaschen bei Euro.

Lösung zu Aufgabe 2

Ablehnungsbereich

Zunächst wird der Ablehnungbereich der Nullhypothese ermittelt. Die Nullhypothese, das Signifikanzniveau sowie der Stichprobenumfang lauten:

Wahrscheinlichkeit für den Fehler 2. Art

Beträgt der Anteil der Flaschen mit einer Gewinnmarke im Mittel nur und der Markt kommt dennoch nicht in den Genuss einer kostenlosen Sonderwerbeaktion, so spricht man von einem Fehler 2. Art: Die Hullhypothese wird irrtümlich angenommen. Die Wahrscheinlichkeit für diesen Fehler beträgt für und :