Abi Bayern 2016 Stochastik A1

Aufgabe

Aufgabe 1

Die beiden Baumdiagramme gehören zum selben Zufallsexperiment mit den Ereignissen und .

Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit und ergänzen Sie anschließend an allen Ästen des rechten Baumdiagramms die zugehörigen Wahrscheinlichkeiten.

Aufgabe 2

Bei einem Zufallsexperiment wird eine ideale Münze so lange geworfen, bis zum zweiten Mal Zahl () oder zum zweiten Mal Wappen () oben liegt. Als Ergebnismenge wird festgelegt: .

1. Begründen Sie, dass dieses Zufallsexperiment kein Laplace-Experiment ist.
   (2 BE)
2. Die Zufallsgröße ordnet jedem Ergebnis die Anzahl der entsprechenden Münzwürfe zu. Berechnen Sie den Erwartungswert von .
   (3 BE)

Lösung

Lösung zu Aufgabe 1

Wahrscheinlichkeit

Laut linkem Baumdiagramm gelten folgende Wahrscheinlichkeiten:

Wahrscheinlichkeiten des rechten Baumdiagramms

Nun fehlen noch die bedingten Wahrscheinlichkeiten. Um diese berechnen zu können, benötigt man noch zwei Zwischenergebnisse:

Alternativer Weg
Mithilfe der ersten Pfadregel können auch zusätzlich die Wahrscheinlichkeiten im linken Baumdiagramm berechnet werden:

Lösung zu Aufgabe 2

1. Ein Zufallsexperiment wird als Laplace-Experiment bezeichnet, wenn alle Versuchsausgänge gleich wahrscheinlich sind. Die Wahrscheinlichkeit bei einem Münzwurf Zahl oder Wappen zu werfen, beträgt bei einer idealen Münze:
   Somit gilt für die Ergebnismenge folgende Wahrscheinlichkeitsverteilung.
   Die möglichen Ausgänge sind nicht alle gleich wahrscheinlich, also handelt es sich hierbei um kein Laplace-Experiment.
2. Die Zufallsgröße ordnet jedem Ergebnis die Anzahl der Münzwürfe zu. Man erhält somit folgende Werte für .
   Somit gibt es nur zwei mögliche Ausgänge mit folgenden Wahrscheinlichkeiten:
   Für den Erwartungswert gilt folglich: