Abi Bayern 2016 Geometrie B1

Aufgabe

In einem kartesischen Koordinatensystem legen die Punkte , und das gleichseitige Dreieck fest.

1. Ermitteln Sie eine Gleichung der Ebene , in der das Dreieck liegt, in Normalenform.
   mögliches Ergebnis:
   (4 BE)
   Spiegelt man die Punkte , und am Symmetriezentrum , so erhält man die Punkte , bzw. .
2. Beschreiben Sie die Lage der Ebene, in der die Punkte , und liegen, im Koordinatensystem. Zeigen Sie, dass die Strecke senkrecht auf dieser Ebene steht.
   (3 BE)
3. Begründen Sie, dass das Viereck ein Quadrat mit der Seitenlänge ist.
   (4 BE)
   Der Körper ist ein sogenanntes Oktaeder. Er besteht aus zwei Pyramiden mit dem Quadrat als gemeinsamer Grundfläche und den Pyramidenspitzen bzw. .
4. Weisen Sie nach, dass das Oktaeder das Volumen besitzt.
   (2 BE)
5. Bestimmen Sie die Größe des Winkels zwischen den Seitenflächen und .
   (4 BE)
6. Alle Eckpunkte des Oktaeders liegen auf einer Kugel. Geben Sie eine Gleichung dieser Kugel an.
   Berechnen Sie den Anteil des Oktaedervolumens am Kugelvolumen.
   (3 BE)

Lösung

1. Die Punkte , und liegen in der Ebene . Zunächst wird eine Parameterform der Ebene bestimmt. Der Punkt kann als Stützpunkt und die Verbindungsvektoren und als Spannvektoren verwendet werden. Es gilt also:

   Ein Normalenvektor der Ebene kann zum Beispiel mithilfe des Kreuzproduktes der Spannvektoren bestimmt werden:
   Ein Ansatz für die Ebenengleichung in Normalenform lautet dann:
   Alle Punkte der Ebene erfüllen also folgende Gleichung:
   Eine Koordinatenform der Ebene ist also gegeben durch:
   Dies entspricht dem Kontrollergebnis.

2. Lage der Ebene

   Die Punkte , und liegen in der Ebene . Zunächst wird eine Parameterform der Ebene bestimmt. Es gilt:

   Ein Normalenvektor der Ebene kann zum Beispiel mithilfe des Kreuzproduktes der Spannvektoren bestimmt werden. Es gilt:

   Eine Koordinatengleichung der Ebene ist dann gegeben durch:
   Eine Punktprobe mit liefert:
   Eine Koordinatengleichung der Ebene lautet:
   Alle Punkte der Ebene erfüllen also die Gleichung . Die Ebene ist damit parallel zur -Ebene.

   Koordinaten von

   Der Punkt ist der Spiegelpunkt von bezüglich . Dieser Sachverhalt wird an der folgenden Skizze verdeutlicht.

   Es gilt also:
   und hier:
   Der Punkt hat also die Koordinaten .

   Alternativer Weg
   Es gilt auch:

   und hier:
   Der Punkt hat also die Koordinaten .

   Orthogonalität von Strecke und Ebene

   Für den Verbindungsvektor gilt:

   Der Normalenvektor der Ebene ist gegeben durch:
   Damit gilt:
   Der Vektor ist also ein Vielfaches des Normalenvektors der Ebene . Damit sind die beiden Vektoren parallel zueinander und die Strecke verläuft senkrecht zur Ebene .

3. Koordinaten der Spiegelpunkte und Kanten des Vierecks

   Zunächst werden die Spiegelpunkte und bestimmt. Diese können, wie in Aufgabenteil b) beschrieben, wie folgt berechnet werden:

   Nun werden die Vektoren bestimmt, mit deren Hilfe sich die Kanten des Vierecks beschreiben lassen. Es gelten:

   Nachweis der Orthogonalität der Kanten

   Nun werden die Vektoren auf Orthogonalität untersucht. Es gelten:

   Für jeden Eckpunkt gilt also, dass die anliegenden Kanten senkrecht zueinander sind. Das Viereck ist somit ein Rechteck.

   Nachweis, dass ein Quadrat ist

   Ein Rechteck ist genau dann ein Quadrat, wenn alle vier Kanten dieselbe Länge haben. Daher werden nun die Kantenlängen bestimmt. Es gelten:

   Das Viereck ist ein Quadrat mit Seitenlänge .

4. Für die Berechnung des Oktaedervolumens wird zunächst das Volumen der Pyramide bestimmt. Das Volumen einer Pyramide ist gegeben durch:

   Hierbei ist der Flächeninhalt der Grundfläche und die Höhe der Pyramide. In Aufgabenteil c) wurde gezeigt, dass die Grundfläche der Pyramide ein Quadrat mit der Seitenlänge ist. Der Flächeninhalt der Grundfläche kann also berechnet werden:
   In Aufgabenteil b) wurde gezeigt, dass die Strecke senkrecht auf der Ebene steht. In dieser Ebene liegt die Pyramidengrundfläche und das Symmetriezentrum . Die Länge der Strecke entspricht also der doppelten Höhe der Pyramide . Damit gilt:
   Das Volumen der Pyramide kann nun bestimmt werden:
   Das Oktaeder besteht aus zwei Pyramiden dieser Art. Daher gilt für sein Volumen :

5. Die Seitenfläche liegt in der Ebene . Eine Normalengleichung der Ebene wurde in Aufgabenteil a) bestimmt. Es gilt:

   Eine Koordinatengleichung der Ebene , in welcher das Quadrat liegt wurde in Aufgabenteil b) bestimmt und es gilt:
   Zunächst wird der Winkel zwischen der Seitenfläche und der Grundfläche bestimmt. Dieser Winkel entspricht dem Winkel, den die beiden Ebenen und miteinander einschließen.
   Es gilt:
   Da der Winkel ein spitzer Winkel ist, gilt:
   Für den gesuchten Winkel zwischen den beiden Seitenflächen gilt:

6. Gleichung der Kugel

   Die Eckpunkte des Oktaeders haben alle denselben Abstand vom Symmetriezentrum . Der Abstand entspricht der Höhe der Pyramide . Diese wurde in Aufgabenteil d) berechnet und es gilt . Die Kugel , auf welcher alle Eckpunkte des Oktaeders liegen, besitzt also den Mittelpunkt und den Radius . Eine Gleichung dieser Kugel lautet damit:

   Anteil des Oktaedervolummens am Kugelvolumen

   Für das Volumen der Kugel gilt:

   In Aufgabenteil d) wurde gezeigt, dass das Oktaeder das Volumen hat. Damit ist der Anteil des Oktaedervolumens am Kugelvolumen gegeben durch:
   Der Anteil des Oktaedervolumens am Kugelvolumen beträgt ungefähr .