Abi Bayern 2016 Geometrie A1

Aufgabe

Aufgabe 1

Betrachtet wird der abgebildete Würfel .

Die Eckpunkte , , und dieses Würfels besitzen in einem kartesischen Koordinatensystem die folgenden Koordinaten: , , und .

1. Zeichnen Sie in die Abbildung die Koordinatenachsen ein und bezeichnen Sie diese. Geben Sie die Koordinaten des Punkts an.
   (2 BE)
2. Der Punkt liegt auf der Kante des Würfels und hat vom Punkt den Abstand . Berechnen Sie die Koordinaten des Punkts .
   (3 BE)

Aufgabe 2

Gegeben sind die Punkte und .

1. Bestimmen Sie die Koordinaten des Punkts so, dass gilt: .

   (2 BE)

2. Durch die Punkte und verläuft die Gerade . Betrachtet werden Geraden, für welche die Bedingungen und gelten:

   • Jede dieser Geraden schneidet die Gerade orthogonal.
   • Der Abstand jeder dieser Geraden vom Punkt beträgt . Ermitteln Sie eine Gleichung für eine dieser Geraden.
   (3 BE)

Lösung

Lösung zu Aufgabe 1

1. Koordinaten des Punktes

   Aus der Angabe im Text, dass es sich um einen Würfel handelt, und den schon angegebenen Punkten kann man auf die Koordinaten des Punktes schließen. Der Punkt besitzt die gleichen - und -Koordinaten wie und die gleiche - Koordinate wie . Also:

   Zeichnung der Koordinatenachsen

   Die Koordinatenachsen lassen sich in die Abbildung wie folgt einzeichnen.
2. Der Punkt liegt auf der Kante und somit zwischen den beiden Punkten und . Die - und -Koordinaten des Punktes sind gleich wie bei und die -Koordinate ist die gleiche wie bei , somit gilt:
   Der Ortsvektor des Punktes kann in Abhängigkeit eines Skalars wie folgt angegeben werden:
   Nun muss so bestimmt werden, dass die Punkte und den Abstand haben. Der Punkt ist der Ursprung des Koordinatensystems, somit gilt:
   Also muss die Länge des Vektors gleich sein:
   Quadrieren liefert:
   Für liegt der Punkt nicht mehr auf der Kante , da ist. Es kommt also nur die Lösung infrage. Der Punkt hat somit die Koordinaten:

Lösung zu Aufgabe 2

1. Für die Koordinaten des Punktes muss gelten , also:

   Somit ist:

2. Zunächst wird die Gleichung der Geraden angegeben und anschließend eine neue Gerade bestimmt, die die Bedingungen erfüllt.

   Geradengleichung von

   Eine Geradengleichung von ist gegeben durch:

   Berücksichtigung der Orthogonalität

   Der Richtungsvektor der neuen Geraden muss senkrecht zum Richtungsvektor von stehen. Es muss also gelten:

   Bei einer Gleichung mit Unbekannten werden der Koordinaten frei gewählt und die dritte Koordinate entsprechend bestimmt. Zum Beispiel:
   Somit lautet ein möglicher Richtungsvektor der Geraden, die zur Geraden orthogonal ist:

   Berücksichtigung des Abstandes zu

   Damit die neue Gerade den Abstand zu dem Punkt hat, wird der Stützvektor entsprechend gewählt. Der Punkt muss auf der Geraden liegen und Längeneinheiten von entfernt sein. Der Stützvektor kann berechnet werden, indem der Richtungsvektor der Geraden auf die Länge normiert wird. Wegen:

   gilt:
   Somit lautet eine Geradengleichung mit den geforderten Eigenschaften:

   Alternativer Weg
   Es gibt beliebig viele Möglichkeiten, den Richtungsvektor zu wählen. Eine weitere Möglichkeit ist:

   Mögliche Stützvektoren gibt es genau zwei. Die zweite mögliche Wahl für den Stützvektor ist gegeben durch:
   Eine zweite mögliche Geradengleichung lautet also: