Videolösungen
Aufgabe
Aufgabe 1
Gegeben ist die Funktion
- Bestimmen Sie
. (2 BE) - Bestimmen Sie den Wert
mit . (2 BE)
Aufgabe 2
Zeigen Sie, dass der Graph der in
Aufgabe 3
Skizzieren Sie im Bereich
ist nur an der Stelle nicht differenzierbar. und für die Ableitung von gilt: . - Der Graph von
ist im Bereich linksgekrümmt. (3 BE)
Aufgabe 4
Gegeben ist eine in
- Begründen Sie, dass der Graph der Ableitungsfunktion
von eine Parabel ist, welche die -Achse in den Punkten und schneidet und nach oben geöffnet ist. (3 BE) - Begründen Sie, dass
die -Koordinate des Wendepunkts von ist. (2 BE)
Aufgabe 5
Die Abbildung zeigt den Graphen der in
- Bestimmen Sie mithilfe der Abbildung einen Näherungswert für
. (2 BE)
Die Funktion
- Geben Sie mithilfe der Abbildung einen Näherungswert für die Ableitung von
an der Stelle an. (1 BE) - Zeigen Sie, dass
mit gilt. (2 BE)
Lösung
Lösung zu Aufgabe 1
- Zunächst darf der Term unter der Wurzel, der Radikand, nicht negativ sein. Es muss also gelten:
Zudem dürfen im Argument der Logarithmusfunktion nur positive Werte stehen, also muss gelten
. Damit folgt für den Definitionsbereich . - Gesucht ist der Wert
, sodass gilt: Quadrieren dieser Gleichung liefert:Weil die Gleichung quadriert wurde, muss nun noch überprüft werden, obtatsächlich eine Lösung der Gleichung ist. Es gilt: An der Stellegilt .
Lösung zu Aufgabe 2
Nachweis der Symmetrie
Der Graph von
Wert des Integrals
Da die Funktion symmetrisch bezüglich des Koordinatenursprungs ist und die Integrationsgrenzen symmetrisch um den Nullpunkt liegen, ist der Wert des Integrals Null, also:
Lösung zu Aufgabe 3
Folgende Bedingungen sind in der Aufgabenstellung gegeben:
- An der Stelle
ist die Funktion nicht differenzierbar. Der Graph von hat an dieser Stelle also einen "Knick". - Der Graph der Funktion
muss durch den Punkt verlaufen und die Steigung der Tangente an den Graphen in diesem Punkt ist gegeben durch . - Der Graph von
ist im Bereich linksgekrümmt. Es gibt beliebig viele Beispiele, wie der Graph von aussehen könnte. Nachfolgend ist der Graph einer Funktion mit den geforderten Eigenschaften skizziert.
Lösung zu Aufgabe 4
-
Der Graph einer ganzrationalen Funktion
dritten Grades hat an der Stelle einen Hochpunkt und an der Stelle einen Tiefpunkt. Die Ableitungsfunktion ist also eine auf definierte ganzrationale Funktion zweiten Grades. Der Graph von ist damit eine Parabel. An der Stelle
hat der Graph einen Hochpunkt, also hat die Ableitungsfunktion hier eine Nullstelle und wechselt das Vorzeichen von nach . An der Stelle
hat der Graph einen Tiefpunkt, also hat dort eine Nullstelle und wechselt das Vorzeichen von nach . Der Verlauf des Graphen
ist in der folgenden Skizze abgebildet. Die Parabel ist folglich nach oben geöffnet. -
Sind die Nullstellen der quadratischen Funktion bekannt, so lässt sich die
-Koordinate des Scheitelpunktes wie folgt berechnen Also hat der Graphan der Stelle einen Tiefpunkt. Daraus folgt, dass der Graph an dieser Stelle einen Wendepunkt hat.
Lösung zu Aufgabe 5
- Der Wert des Integrals wird näherungsweise bestimmt, indem man die Kästchen der Fläche, die der Graph mit der
-Achse zwischen und einschließt, abzählt. Vier Kästchen entsprechen einer Flächeneinheit ( ). Also folgt für das Integral - Die Ableitung der Funktion
ist die Funktion , also wird der Wert an der Stelle in der Abbildung abgelesen und beträgt näherungsweise . - Für das Integral gilt:
Damit ist die Gleichung bewiesen.