Abi Bayern 2016 Analysis A1

Aufgabe

Aufgabe 1

Gegeben ist die Funktion mit maximaler Definitionsmenge .

1. Bestimmen Sie .
   (2 BE)
2. Bestimmen Sie den Wert mit .
   (2 BE)

Aufgabe 2

Zeigen Sie, dass der Graph der in definierten Funktion punktsymmetrisch bezüglich des Koordinatenursprungs ist, und geben Sie den Wert des Integrals an.

Aufgabe 3

Skizzieren Sie im Bereich den Graphen einer in definierten Funktion mit den folgenden Eigenschaften:

• ist nur an der Stelle nicht differenzierbar.
• und für die Ableitung von gilt: .
• Der Graph von ist im Bereich linksgekrümmt.
  (3 BE)

Aufgabe 4

Gegeben ist eine in definierte ganzrationale Funktion dritten Grades, deren Graph~ an der Stelle einen Hochpunkt und an der Stelle einen Tiefpunkt besitzt.

1. Begründen Sie, dass der Graph der Ableitungsfunktion von eine Parabel ist, welche die -Achse in den Punkten und schneidet und nach oben geöffnet ist.
   (3 BE)
2. Begründen Sie, dass die -Koordinate des Wendepunkts von ist.
   (2 BE)

Aufgabe 5

Die Abbildung zeigt den Graphen der in definierten Funktion .

1. Bestimmen Sie mithilfe der Abbildung einen Näherungswert für .
   (2 BE)

Die Funktion ist die in definierte Stammfunktion von mit .

2. Geben Sie mithilfe der Abbildung einen Näherungswert für die Ableitung von an der Stelle an.
   (1 BE)
3. Zeigen Sie, dass mit gilt.
   (2 BE)

Lösung

Lösung zu Aufgabe 1

1. Zunächst darf der Term unter der Wurzel, der Radikand, nicht negativ sein. Es muss also gelten:
   Zudem dürfen im Argument der Logarithmusfunktion nur positive Werte stehen, also muss gelten . Damit folgt für den Definitionsbereich .
2. Gesucht ist der Wert , sodass gilt:
   Quadrieren dieser Gleichung liefert:
   Weil die Gleichung quadriert wurde, muss nun noch überprüft werden, ob tatsächlich eine Lösung der Gleichung ist. Es gilt:
   An der Stelle gilt .

Lösung zu Aufgabe 2

Nachweis der Symmetrie

Der Graph von ist symmetrisch zum Ursprung des Koordinatensystems, falls gilt:

Wert des Integrals

Da die Funktion symmetrisch bezüglich des Koordinatenursprungs ist und die Integrationsgrenzen symmetrisch um den Nullpunkt liegen, ist der Wert des Integrals Null, also:

Lösung zu Aufgabe 3

Folgende Bedingungen sind in der Aufgabenstellung gegeben:

• An der Stelle ist die Funktion nicht differenzierbar. Der Graph von hat an dieser Stelle also einen "Knick".
• Der Graph der Funktion muss durch den Punkt verlaufen und die Steigung der Tangente an den Graphen in diesem Punkt ist gegeben durch .
• Der Graph von ist im Bereich linksgekrümmt. Es gibt beliebig viele Beispiele, wie der Graph von aussehen könnte. Nachfolgend ist der Graph einer Funktion mit den geforderten Eigenschaften skizziert.

Lösung zu Aufgabe 4

1. Der Graph einer ganzrationalen Funktion dritten Grades hat an der Stelle einen Hochpunkt und an der Stelle einen Tiefpunkt. Die Ableitungsfunktion ist also eine auf definierte ganzrationale Funktion zweiten Grades. Der Graph von ist damit eine Parabel.

   An der Stelle hat der Graph einen Hochpunkt, also hat die Ableitungsfunktion hier eine Nullstelle und wechselt das Vorzeichen von nach .

   An der Stelle hat der Graph einen Tiefpunkt, also hat dort eine Nullstelle und wechselt das Vorzeichen von nach .

   Der Verlauf des Graphen ist in der folgenden Skizze abgebildet.

   Die Parabel ist folglich nach oben geöffnet.

2. Sind die Nullstellen der quadratischen Funktion bekannt, so lässt sich die -Koordinate des Scheitelpunktes wie folgt berechnen

   Also hat der Graph an der Stelle einen Tiefpunkt. Daraus folgt, dass der Graph an dieser Stelle einen Wendepunkt hat.

Lösung zu Aufgabe 5

1. Der Wert des Integrals wird näherungsweise bestimmt, indem man die Kästchen der Fläche, die der Graph mit der -Achse zwischen und einschließt, abzählt. Vier Kästchen entsprechen einer Flächeneinheit (). Also folgt für das Integral
2. Die Ableitung der Funktion ist die Funktion , also wird der Wert an der Stelle in der Abbildung abgelesen und beträgt näherungsweise .
3. Für das Integral gilt:
   Damit ist die Gleichung bewiesen.