Abi Bayern 2015 Stochastik A2

Aufgabe

Aufgabe 1

In einer Urne befinden sich vier rote und sechs blaue Kugeln. Aus dieser wird achtmal eine Kugel zufällig gezogen, die Farbe notiert und die Kugel anschließend wieder zurückgelegt.

1. Geben Sie einen Term an, mit dem die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses "Es werden gleich viele rote und blaue Kugeln gezogen." berechnet werden kann.

   (2 BE)

2. Beschreiben Sie im Sachzusammenhang jeweils ein Ereignis, dessen Wahrscheinlichkeit durch den angegebenen Term berechnet werden kann.

   • (3 BE)

Aufgabe 2

Für ein Zufallsexperiment wird eine Zufallsgröße festgelegt, welche die drei Werte , und annehmen kann. In der Abbildung ist die Wahrscheinlichkeitsverteilung von dargestellt.

1. Ermitteln Sie mithilfe der Abbildung den Erwartungswert der Zufallsgröße .
   (2 BE)
2. Das Zufallsexperiment wird zweimal durchgeführt. Dabei wird jeweils der Wert der Zufallsgröße notiert. Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die Summe dieser beiden Werte negativ ist.
   (3 BE)

Lösung

Lösung zu Aufgabe 1

1. Die Wahrscheinlichkeiten, eine rote bzw. eine blaue Kugel zu ziehen, betragen:

   Es werden Kugeln mit Zurücklegen gezogen. Daher ist die Wahrscheinlichkeit dafür gesucht, dass je rote und blaue Kugeln gezogen werden. Die Wahrscheinlichkeit, dass bei den ersten vier Zügen nur blaue Kugeln und bei den letzten vier Zügen nur rote Kugeln gezogen werden, beträgt:
   Da es jedoch nicht auf die Reihenfolge ankommt, muss diese Wahrscheinlichkeit noch mit multipliziert werden. Dieser Faktor entspricht der Anzahl aller Möglichkeiten, rote Kugeln auf Züge zu verteilen. Damit beträgt die gesuchte Wahrscheinlichkeit:

   Alternativer Weg
   Man kann das vorliegende Beispiel als eine Bernoulli-Kette der Länge mit Treffern interpretieren. Ein Treffer entspricht dabei dem Ziehen einer roten Kugel und hat die Trefferwahrscheinlichkeit . Damit beträgt die gesuchte Wahrscheinlichkeit:

   Alternativer Weg
   Man kann das vorliegende Beispiel als eine Bernoulli-Kette der Länge mit Treffern interpretieren. Ein Treffer entspricht dabei dem Ziehen einer blauen Kugel und hat die Trefferwahrscheinlichkeit . Damit beträgt die gesuchte Wahrscheinlichkeit:

2. Im Aufgabenteil a) wurden folgende Wahrscheinlichkeiten bestimmt:

   Damit können für die angegebenen Wahrscheinlichkeiten folgende Ereignisse identifiziert werden:
   • Die Wahrscheinlichkeit, eine blaue Kugel zu ziehen, beträgt . Damit beschreibt die Wahrscheinlichkeit, bei achtfachem Ziehen acht blaue Kugel zu erhalten und der Term
     ist die Wahrscheinlichkeit, bei achtfachem Ziehen nicht ausschließlich blaue Kugeln zu ziehen. Mit anderen Worten: Es wird mindestens eine rote Kugel gezogen.
   • Der Term beschreibt die Wahrscheinlichkeit, bei achtfachem Ziehen acht blaue Kugel zu erhalten. Es gilt:
     Damit gibt dieser Term die Wahrscheinlichkeit an, bei achtfachem Ziehen genau eine rote Kugel zu ziehen. Folglich beschreibt
     die Wahrscheinlichkeit, bei achtfachem Ziehen acht blaue Kugeln oder genau eine rote Kugel zu erhalten. Mit anderen Worten: Es wird höchstens eine rote Kugel gezogen.

Lösung zu Aufgabe 2

1. Aus der angegebenen Abbildung kann man folgende Wahrscheinlichkeiten ablesen:

   Weil die Summe der Wahrscheinlichkeiten 1 ergibt, liegt eine Wahrscheinlichkeitsverteilung der Zufallsgröße vor. Der Erwartungswert der Zufallsgröße ist somit:

2. Dass die Summe beider Werte negativ ist, tritt in folgenden Fällen ein:

   • Erster Wert ist , zweiter Wert ist (Summe ist ).
   • Erster Wert ist , zweiter Wert ist (Summe ist ).
   • Erster Wert ist , zweiter Wert ist (Summe ist ).

   Um die gesuchte Wahrscheinlichkeit zu bestimmen, müssen die Wahrscheinlichkeiten dieser drei Fälle addiert werden. Dies ergibt: