Abi Bayern 2015 Stochastik A1

Aufgabe

Aufgabe 1

Bei der Wintersportart Biathlon wird bei jeder Schießeinlage auf fünf Scheiben geschossen. Ein Biathlet tritt bei einem Einzelrennen zu einer Schießeinlage an, bei der er auf jede Scheibe einen Schuss abgibt. Diese Schießeinlage wird modellhaft durch eine Bernoullikette mit der Länge und der Trefferwahrscheinlichkeit beschrieben.

1. Geben Sie für die folgenden Ereignisse und jeweils einen Term an, der die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses in Abhängigkeit von beschreibt.

   "Der Biathlet trifft bei genau vier Schüssen."
   "Der Biathlet trifft nur bei den ersten beiden Schüssen."

   (3 BE)

2. Erläutern Sie anhand eines Beispiels, dass die modellhafte Beschreibung der Schießeinlage durch eine Bernoullikette unter Umständen der Realität nicht gerecht wird.

   (2 BE)

Aufgabe 2

Ein Moderator lädt zu seiner Talkshow drei Politiker, eine Journalistin und zwei Mitglieder einer Bürgerinitiative ein. Für die Diskussionsrunde ist eine halbkreisförmige Sitzordnung vorgesehen, bei der nach den Personen unterschieden wird und der Moderator den mittleren Platz einnimmt.

1. Geben Sie einen Term an, mit dem die Anzahl der möglichen Sitzordnungen berechnet werden kann, wenn keine weiteren Einschränkungen berücksichtigt werden.
   (1 BE)
2. Der Sender hat festgelegt, dass unmittelbar neben dem Moderator auf einer Seite die Journalistin und auf der anderen Seite einer der Politiker sitzen soll. Berechnen Sie unter Berücksichtigung dieser weiteren Einschränkung die Anzahl der möglichen Sitzordnungen.
   (4 BE)

Lösung

Lösung zu Aufgabe 1

1. Wahrscheinlichkeit von Ereignis

   Die Wahrscheinlichkeit, in einer Bernoulli-Kette der Länge mit Trefferwahrscheinlichkeit genau Treffer zu erzielen, beträgt:

   Alternativer Weg
   Dieses Ergebnis kann auch mit folgender Überlegung erhalten werden. Der Schütze trifft genau mal. Das entspricht dem Term . Einmal muss der Schütze das Ziel verfehlen. Das ergibt den Term . Welcher der fünf Schüsse das Ziel verfehlt ist nicht entscheidend. Dieser Sachverhalt multipliziert die Wahrscheinlichkeit mit . Entsprechend beträgt die gesuchte Wahrscheinlichkeit:

   Wahrscheinlichkeit von Ereignis

   Die Wahrscheinlichkeit, bei den ersten beiden Versuchen jeweils einen Treffer zu erzielen, beträgt . Die Wahrscheinlichkeit, bei den verbleibenden drei Schüssen kein einziges Mal zu treffen, beträgt . Also beträgt die gesuchte Wahrscheinlichkeit

2. Damit das Schießen als Bernoullikette modelliert werden kann, müssen folgende Bedingungen erfüllt sein:

   (1) Jeder Schuss ist entweder ein Treffer oder ein Fehlschuss.
   (2) Bei jedem Schuss ist die Wahrscheinlichkeit zu treffen gleich.
   (3) Die Schüsse werden unabhängig voneinander abgegeben.

   Wird mindestens eine dieser Bedingungen nicht erfüllt, dann kann die Beschreibung der Schießeinlage nicht durch eine Bernoullikette modelliert werden. Bedingung (1) ist immer erfüllt, denn jeder Schuss ist immer entweder ein Treffer oder ein Fehlschuss. Bedingung (2) beziehungsweise (3) sind NICHT notwendigerweise immer erfüllt. Folgende Situationen sind Beispiele dafür.

   • Trifft der Schütze, dann wird er beim folgenden Schuss vermutlich selbstbewusster sein als nach einen Fehlschuss. Damit erhöht sich bei einem Treffer die Trefferwahrscheinlichkeit im folgenden Schuss.
   • Es ist einfacher mit einem hohen Puls zu schießen als mit niedrigem Puls, weil ein niedriger Puls die Hand merklich schwanken lässt. Beim ersten Schuss ist der Puls des Schützen vom Laufen noch recht hoch, beim letzten Schuss hat er sich schon etwas beruhigt. Deshalb trifft der erste Schuss mit höherer Wahrscheinlichkeit als der letzte.
   • Der Schütze ermüdet im Laufe des Wettkampfes und seine Konzentration lässt nach, sodass er gegen Ende des Wettkampfes eine geringere Trefferwahrscheinlichkeit als zu Beginn haben könnte.
   • Böige Windverhältnisse können den Verlauf der Schießeinlage in beide Richtungen erheblich beeinflussen, sodass die Unabhängigkeit der einzelnen Schüsse nicht zwangsläufig gegeben sein muss. \end{itemize}

Lösung zu Aufgabe 2

1. Der Moderator hat in der Mitte des Halbkreises einen festen Sitzplatz und damit keine Auswahlmöglichkeit. Die Gäste können die verbleibenden Plätze frei wählen.

   Dem ersten Gast stehen Plätze zur Auswahl, der zweite Gast kann dann aus Plätzen auswählen, dem dritten Gast stehen Plätze zur Auswahl etc.

   Damit beträgt die Anzahl der möglichen Sitzordnungen:

2. Die Journalistin kann links oder rechts neben dem Moderator Platz nehmen. Sie hat also Plätze zur Auswahl. Da die Journalistin schon einen Platz neben dem Moderator eingenommen hat, gibt es nur noch einen freien Platz neben dem Moderator. Auf diesem soll einer der drei Politiker Platz nehmen. Hierfür gibt es Möglichkeiten, da es ja drei Politiker gibt. Die verbleibenden vier Gäste können sich beliebig auf die vier verbleibenden Plätze setzen. Hierfür gibt es Möglichkeiten. Damit beträgt die Anzahl der möglichen Sitzordnungen: