Abi Bayern 2015 Geometrie B1

Aufgabe

In einem kartesischen Koordinatensystem sind die Ebene , der Punkt und die Gerade , , gegeben.

1. Beschreiben Sie, welche besondere Lage die Ebene im Koordinatensystem hat. Weisen Sie nach, dass die Ebene die Gerade enthält. Geben Sie die Koordinaten der Schnittpunkte von mit der -Achse und mit der -Achse an und veranschaulichen Sie die Lage der Ebene sowie den Verlauf der Geraden in einem kartesischen Koordinatensystem (vgl. Abbildung).
   (6 BE)
   .

Die -Ebene beschreibt modellhaft eine horizontale Fläche, auf der eine Achterbahn errichtet wurde. Ein gerader Abschnitt der Bahn beginnt im Modell im Punkt und verläuft entlang der Geraden . Der Vektor beschreibt die Fahrtrichtung auf diesem Abschnitt.

2. Berechnen Sie im Modell die Größe des Winkels, unter dem dieser Abschnitt der Achterbahn gegenüber der Horizontalen ansteigt.
   (3 BE)

An den betrachteten geraden Abschnitt der Achterbahn schließt sich – in Fahrt"-richtung gesehen – eine Rechtskurve an, die im Modell durch einen Viertelkreis beschrieben wird, der in der Ebene verläuft und den Mittelpunkt hat.

3. Das Lot von auf schneidet im Punkt . Im Modell stellt den Punkt der Achterbahn dar, in dem der gerade Abschnitt endet und die Kurve beginnt. Bestimmen Sie die Koordinaten von und berechnen Sie den Kurvenradius im Modell.

   Teilergebnis:

   (5 BE)

4. Das Ende der Rechtskurve wird im Koordinatensystem durch den Punkt beschrieben. Begründen Sie, dass für den Ortsvektor des Punkts gilt:
   .

   (2 BE)

5. Ein Wagen der Achterbahn durchfährt den Abschnitt, der im Modell durch die Strecke und den Viertelkreis von nach dargestellt wird, mit einer durchschnittlichen Geschwindigkeit von . Berechnen Sie die Zeit, die der Wagen dafür benötigt, auf Zehntelsekunden genau, wenn eine Längeneinheit im Koordinatensystem in der Realität entspricht.

   (4 BE)

Lösung

Gegeben sind die Ebene

1. Besondere Lage der Ebene im Raum

   Die Ebene hat keinen Schnittpunkt mit der -Achse, da für alle Punkte der -Achse und gilt und damit ist. Somit erfüllt keiner der Punkte auf der -Achse die Koordinatengleichung der Ebene . Außerdem lässt sich aus der Ebenengleichung direkt ein Normalenvektor der Ebene ablesen als:

   Weil das Skalarprodukt des Ebenennormalenvektors mit dem Richtungsvektor der -Achse Null ist, sind die -Achse und die Ebene echt parallel zueinander. Die Ebene ist also parallel zur -Ebene

   Alternativer Weg
   Der Punkt gehört zur Ebene , denn die Punktprobe liefert ein korrektes Ergebnis: . Damit liegt auch die Gerade

   in der Ebene . Der Richtungsvektor dieser Gerade ist parallel zum Richtungsvektor der -Achse. Damit sind sowohl die beiden Geraden als auch Ebene und -Achse echt parallel zueinander.

   Nachweis, dass die Ebene die Gerade enthält

   Zunächst wird überprüft, ob die Koordinaten des gegebenen Aufpunkts die Gleichung der Ebene erfüllen:
   

   Damit ist nachgewiesen, dass der Stützpunkt der Geraden zur Ebene gehört. Nun muss noch gezeigt werden, dass der Richtungsvektor von senkrecht zum Normalenvektor der Ebene ist. Dazu wird das Skalarprodukt dieser beiden Vektoren berechnet:
   Der Richtungsvektor der Gerade steht also senkrecht auf dem Normalenvektor der Ebene , die Gerade verläuft folglich parallel zur Ebene . Weil der Aufpunkt der Geraden auch in der Ebene liegt, ist nachgewiesen, dass die Gerade in der Ebene liegt.

   Schittpunkt der Ebene mit der -Achse

   Für alle Punkte auf der -Achse gilt und . Damit muss der Schnittpunkt von Ebene und -Achse die folgende Bedingung erfüllen:

   Die Ebene schneidet die -Achse im Punkt .

   Schnittpunkt der Ebene mit der -Achse

   Für alle Punkte auf der -Achse gilt und . Damit muss der Schnittpunkt von Ebene und -Achse die folgende Bedingung erfüllen:

   Die Ebene schneidet die -Achse im Punkt .

   Darstellung von und in einem Koordinatensystem

   Zum Zeichnen der Ebene können die Schnittpunkte und mit der - beziehungsweise -Achse und die Parallelität der Ebene zur -Achse verwendet werden. Für die graphische Darstellung der Geraden wird neben dem bekannten Stützpunkt mindestens ein weiterer Punkt benötigt. Dabei ist es hier geschickt, den Parameter in der Geradengleichung von so zu wählen, dass gilt und damit der Schnittpunkt der Geraden mit der -Ebene ist:

   Das Einsetzen des so ermittelten Parameters in die Geradengleichung liefert:
   Neben kann nun zum Zeichnen der Geraden genutzt werden.

2. Gesucht ist der Schnittwinkel des Vektor mit der Horizontalen . Die Fragestellung lässt sich in einer Skizze veranschaulichen.

   Der gesuchte Winkel ist also der Komplementärwinkel des spitzen Winkels zwischen dem Vektor und dem Normalenvektor der Horizontalen . Da es sich bei der Horizontalen um eine zur -Ebene parallelen Ebene handelt, ist
   ein Normalenvektor der Ebene . Damit lässt sich der Winkel wie folgt berechnen:
   Da ein spitzer Winkel ist, folgt und damit . Die Achterbahn steigt somit im Bereich der Ebene unter einem Winkel von gegenüber der Horizontalen an.

   Alternativer Weg
   Wegen lässt sich auch wie folgt direkt berechnen:

   Da ein spitzer Winkel ist, gilt also .

3. Der Punkt ist der Mittelpunkt eines Viertelkreises, der ebenfalls in der Ebene verläuft und im Fußpunkt des Lotes von auf der Geraden beginnt. In der folgenden Zeichnung ist die Ebene mit allen relevanten Kurven und Punkten skizziert.

   Koordinaten des Lotfußpunktes

   Das Lot eines Punktes auf eine Gerade steht stets senkrecht auf dieser. Damit steht der Richtungsvektor des Lotes senkrecht auf dem Richtungsvektor der Geraden . Da der Viertelkreis in der Ebene liegt, schließt deren Normalenvektor mit ebenfalls einen rechten Winkel ein. Der Richtungsvektor steht somit senkrecht auf der durch den Richtungsvektor der Geraden und den Normalenvektor von aufgespannten Ebene. Also lässt sich der Richtungsvektor des Lotes zum Beispiel mithilfe des Kreuzproduktes von und ermitteln:

   Damit lässt sich die Parameterform von angeben als:
   Da der Punkt der Schnittpunkt der Geraden und ist, werden die Terme der Geradengleichungen gleichgesetzt:
   Der Koordinatenvergleich liefert ein lineares Gleichungssystem:
   Die erste und die dritte Gleichung sind identisch. Das kann man durch einfache Äquivalenzumformungen zeigen. Deshalb wird die erste Gleichung in die zweite eingesetzt und anschließend nach aufgelöst:
   Damit lassen sich die Koordinaten des Punktes über die Geradengleichung von berechnen:
   Der Lotfußpunkt von auf die Gerade hat somit die Koordinaten .

   Alternativer Weg
   Wird in die erste Gleichung des Gleichungssystems eingesetzt, ergibt sich:

   Eingesetzt in die Gleichung von erhält man die Koordinaten des Punktes .

   Kreisradius des Viertelkreises

   Der Radius entspricht der Länge der Strecke .
   Dazu wird der Betrag des Vektors berechnet:

   Der Viertelkreis hat den Radius .

4. Nachweis von

   Der Verlauf der Kurve wird nochmals in einer Skizze veranschaulicht.

   Da es sich um einen Viertelkreis handelt, schließen und einen rechten Winkel ein. Außerdem steht senkrecht auf . Damit sind und parallel zueinander und der Ortsvektor lässt sich als Summe aus dem Ortsvektor und einem Vielfachen des Richtungsvektors von beschreiben. Es gilt also:
   Da der Punkt auf dem Viertelkreis mit Radius um den Punkt liegt, muss der Betrag des Vektors ebenfalls sein. Zunächst wird deshalb der Betrag des Vektors berechnet:
   Setzt man den Betrag des Vektors nun gleich dem Radius des Viertelkreises, ergibt sich:
   Da der Vektor die Fahrtrichtung auf der geraden Strecke beschreibt, kann der Wert von nicht negativ sein. Damit ist und es gilt:

5. Die durchschnittliche Geschwindigkeit des Achterbahnwagens auf dem Weg von Punkt nach beträgt , wobei im Koordinatensystem des Modells in der Realität entspricht.

   Fahrstreckenlänge von nach

   Die Länge der Gesamtstrecke von nach ergibt sich als Summe des Betrags von und dem Viertel des Umfanges eines Kreises mit Radius . Es gilt:

   Die Fahrstrecke von bis ist im Koordinatensystem des Modells und in der Realität lang.

   Fahrzeit von nach

   Die Formel für die Geschwindigkeit wird nach der Zeit aufgelöst und anschließend die gegebene Geschwindigkeit sowie die berechnete Fahrstrecke eingesetzt. Es gilt:

   Ein Wagen der Achterbahn benötigt für die Fahrt von nach etwa Sekunden.