Abi Bayern 2015 Geometrie A2

Aufgabe

Aufgabe 1

Die Gerade verläuft durch die Punkte und .

1. Zeigen Sie, dass die Punkte und den Abstand haben.
   Die Punkte und liegen auf und haben von jeweils den Abstand . Bestimmen Sie die Koordinaten von und .
   (3 BE)
2. Die Punkte , und sollen mit einem weiteren Punkt die Eckpunkte eines Parallelogramms bilden. Für die Lage des vierten Eckpunkts gibt es mehrere Möglichkeiten.
   Geben Sie für zwei dieser Möglichkeiten die Koordinaten des vierten Eckpunkts an.
   (2 BE)

Aufgabe 2

Die Abbildung zeigt die Pyramide mit quadratischer Grundfläche . Der Pyramide ist eine Stufenpyramide einbeschrieben, die aus Würfeln mit der Kantenlänge besteht.

1. Geben Sie das Volumen der Stufenpyramide und die Höhe der Pyramide an.
   (2 BE)
2. Bestimmen Sie unter Verwendung eines geeignet gewählten kartesischen Koordinatensystems eine Gleichung für die Gerade, die durch die Punkte und verläuft.
   Zeichnen Sie das gewählte Koordinatensystem in die Abbildung ein.
   (3 BE)

Lösung

Lösung zu Aufgabe 1

Diese Aufgabe entspricht Aufgabe 1 aus Aufgabengruppe 1, daher werden hier nur die Ergebnisse angegeben.

1. Die Berechnung des Betrags des Vektors liefert .
   Die Punkte und haben die Koordinaten und , dabei kann die Bezeichnung der Punkte vertauscht werden.
2. Als Lösung müssen zwei der drei folgenden Möglichkeiten für den vierten Eckpunkt des Parallelogramms angegeben werden:

Lösung zu Aufgabe 2

Betrachtet wird die in der Abbildung dargestellte Pyramide mit einbeschriebener Stufenpyramide.

1. Volumen der Stufenpyramide

   Das Volumen der Stufenpyramide berechnet sich aus dem Produkt der Würfelanzahl und dem Volumen eines einzelnen Würfels. Die Stufenpyramide besteht aus drei übereinander liegenden Würfelschichten. Die untere enthält Würfel und die mittlere Würfel. In der oberen Schicht befindet sich nur ein Würfel. Insgesamt sind es Würfel. Jeder einzelne Würfel hat die Kantenlänge und damit das Volumen . Damit ist das Volumen der Stufenpyramide .

   Höhe der Pyramide

   Die Höhe der einbeschriebenen Stufenpyramide ist , da sie aus drei übereinander liegenden Schichten von Würfeln mit der Kantenlänge besteht. Damit muss noch der Abstand der Pyramidenspitze von dem obersten Würfel der Stufenpyramide bestimmt werden. In der folgenden Zeichnung ist der Querschnitt der Pyramide dargestellt, der die Punkte , und enthält. Der Fußpunkt der Pyramidenspitze auf der Grundfläche wird mit bezeichnet.

   Vom Dreieck und dem Rand der Stufenpyramide werden in dieser Ebene vier rechtwinklige Dreiecke gebildet. Diese sind in der Zeichnung weiß. Die drei größeren haben dabei jeweils Katheten mit den Längen und , da die Würfel hoch sind und die Diagonale der quadratischen Außenfläche eines solchen Würfels lang ist. In dem kleinen Dreieck ganz oben bei der Pyramidenspitze ist die waagrechte Kathete nur halb so lang wie bei den größeren Dreiecken. Da die Dreiecke zueinander ähnlich sind, muss die vertikale Kathete auch halb so lang sein, wie die bei den größeren Dreiecken. Damit gilt für den Abstand der Pyramidenspitze von dem obersten Würfel der Stufenpyramide . Folglich beträgt die Höhe der Pyramide also .

2. Gesucht ist eine Gleichung für die Gerade durch die Punkte und . Dazu wird der Punkt als Koordinatenursprung festgelegt und das Koordinatensystem in die Abbildung mit der Pyramide eingezeichnet.

   
   In diesem kartesischen Koordinatensystem geht die gesuchte Gerade durch die Punkte und . Die Gerade hat dann die Gleichung

   Alternativer Weg
   Man kann den Koordinatenursprung auch in den Punkt legen.

   Dann ist die Gerade gesucht, die durch die Punkte und geht, und es gilt: