Abi Bayern 2015 Geometrie A1

Aufgabe

Aufgabe 1

Die Gerade verläuft durch die Punkte und .

1. Zeigen Sie, dass die Punkte und den Abstand haben.
   Die Punkte und liegen auf und haben von jeweils den Abstand . Bestimmen Sie die Koordinaten von und .
   (3 BE)
2. Die Punkte , und sollen mit einem weiteren Punkt die Eckpunkte eines Parallelogramms bilden. Für die Lage des vierten Eckpunkts gibt es mehrere Möglichkeiten.
   Geben Sie für zwei dieser Möglichkeiten die Koordinaten des vierten Eckpunkts an.
   (2 BE)

Aufgabe 2

Betrachtet wird die Pyramide mit , , , und . Die Grundfläche ist ein Parallelogramm.

1. Weisen Sie nach, dass das Parallelogramm ein Rechteck ist.
   (2 BE)
2. Die Kante steht senkrecht auf der Grundfläche . Der Flächeninhalt der Grundfläche beträgt .
   Ermitteln Sie das Volumen der Pyramide.
   (3 BE)

Lösung

Lösung zu Aufgabe 1

Gegeben ist die Gerade , die durch die Punkte und verläuft.

1. Abstand zwischen den Punkten und

   Um nachzuweisen, dass die beiden Punkte den Abstand haben, wird der Betrag des Verbindungsvektors von nach ermittelt. Den Vektor erhält man, indem man den Ortsvektor des Punktes vom Ortsvektor des Punktes abzieht:

   Anschließend wird der Betrag dieses Vektors berechnet:
   Damit ist gezeigt, dass die Punkte und den Abstand haben.

   Koordinaten der Punkte und

   Eine Skizze verdeutlicht die Aufgabenstellung.

   Da der Abstand von Punkt zu den Punkten und jeweils doppelt so groß ist wie der Abstand von zum Punkt , muss der Verbindungsvektor zweimal zum Ortsvektor von dazu addiert beziehungsweise zweimal von diesem abgezogen werden:
   Die Punkte und haben die Koordinaten und .

   Alternativer Weg 1
   Die Bezeichnung der Punkte und kann auch vertauscht werden. In diesem Fall erhält man und .

   Alternativer Weg 2
   Prinzipiell ist auch die Wahl mit oder korrekt, weil in der Aufgabenstellung nicht ausdrücklich verlangt wurde, dass und verschieden sein müssen.

   Alternativer Weg 3
   Eine Geradengleichung einer Geraden durch die Punkte und mit einem normierten Richtungsvektor ist

   Dabei gibt den Abstand des resultierenden Punktes von an. Für beziehungsweise ergeben sich und .

2. Die drei Punkte , und bilden ein Dreieck:

   In einem Parallelogramm sind gegenüberliegende Seiten parallel und gleich lang. Da jede der Dreiecksseiten die Diagonale des Parallelogramms sein kann, gibt es insgesamt drei Möglichkeiten für die Wahl des vierten Punktes. Zur Verdeutlichung wird das zunächst skizziert.

   Nun müssen noch die Koordinaten von zwei der drei Punkte , und berechnet werden. Der Vollständigkeit halber wird dies hier für alle drei gezeigt.

   Koordinaten von

   Die Koordinaten des Punktes lassen sich berechnen, indem zum Ortsvektor der Vektor addiert wird:

   Alternativer Weg
   Es gilt:

   Man kann die Koordinaten des Punktes also zum Beispiel auch berechnen, indem man von dem Ortsvektor den Richtungsvektor abzieht.

   Koordinaten von

   Die Koordinaten dieses Punktes erhält man beispielsweise, indem man zum Ortsvektor den Vektor addiert:

   Koordinaten von

   Die Koordinaten des dritten möglichen Punktes lassen sich unter anderem durch Addition des Vektors zum Ortsvektor berechnen:

   Gesucht waren also zwei der drei Punkte

Lösung zu Aufgabe 2

1. Es soll nachgewiesen werden, dass das Parallelogramm mit den Eckpunkten , , und ein Rechteck ist.
   Ein Parallelogramm ist genau dann ein Rechteck, wenn seine Innenwinkel rechte Winkel sind. Da sich jeder Innenwinkel eines Parallelogramms sowohl mit seinem Neben- als auch mit seinem Gegenwinkel zu ergänzt, genügt der Nachweis, dass einer der Innenwinkel ein rechter Winkel ist. Dieser Nachweis wird beispielhaft für die beiden Vektoren und durchgeführt. Sie stehen genau dann senkrecht aufeinander, wenn ihr Skalarprodukt null ist. Es gilt:

   Damit ist gezeigt, dass die Vektoren und senkrecht aufeinander stehen und das Parallelogramm somit ein Rechteck ist.

   Alternativer Weg
   Nach dem gleichen Prinzip könnte man auch nachweisen, dass die Vektoren der Paare und , und sowie und jeweils senkrecht aufeinander stehen.

2. Pyramidenhöhe

   Da die Kante senkrecht auf der Grundfläche der Pyramide steht, ist deren Länge gleichzeitig die Pyramidenhöhe. Es muss also der Betrag des Vektors berechnet werden:

   Die Höhe der Pyramide beträgt also .

   Pyramidenvolumen

   Die Formel für das Volumen einer Pyramide ist gegeben durch:

   Dabei ist die Grundfläche der Pyramide, die in der Aufgabe mit gegeben ist, und steht für die bereits berechnete Pyramidenhöhe.
   Setzt man beide Werte in die Formel ein, ergibt sich:
   Das Volumen der Pyramide beträgt .