Abi Bayern 2015 Analysis B2

Aufgabe

Aufgabe 1

Der Graph einer in definierten Funktion mit besitzt im Punkt einen Wendepunkt mit waagrechter Tangente.

1. ist ein weiterer Wendepunkt von . Bestimmen Sie mithilfe dieser Information die Werte von und .
   Ergebnis: ,
   (4 BE)
2. Bestimmen Sie Lage und Art des Extrempunkts von .
   (4 BE)

Die Gerade schneidet in den Punkten und .

3. Zeichnen Sie unter Berücksichtigung der bisherigen Ergebnisse sowie die Gerade in ein Koordinatensystem ein. Geben Sie die Gleichung der Geraden an.
   (4 BE)
4. und die -Achse schließen im IV. Quadranten ein Flächenstück ein, das durch die Gerade in zwei Teilflächen zerlegt wird. Berechnen Sie das Verhältnis der Flächeninhalte dieser beiden Teilflächen.
   (6 BE)

Aufgabe 2

Gegeben ist die Schar der in definierten Funktionen mit sowie die in definierte Funktion .

1. Die Abbildungen 1 bis 4 zeigen die Graphen der Funktionen , , bzw. . Ordnen Sie jeder dieser Funktionen den passenden Graphen zu und begründen Sie drei Ihrer Zuordnungen durch Aussagen zur Symmetrie, zu den Schnittpunkten mit den Koordinatenachsen oder dem Verhalten an den Grenzen des Definitionsbereichs des jeweiligen Graphen.
   (4 BE)

2. Betrachtet werden nun die Funktionen mit . Geben Sie in Abhängigkeit von das Verhalten dieser Funktionen für und für an.
   (3 BE)

Aufgabe 3

In der Lungenfunktionsdiagnostik spielt der Begriff der Atemstromstärke eine wichtige Rolle.

Im Folgenden wird die Atemstromstärke als die momentane Änderungsrate des Luftvolumens in der Lunge betrachtet, d.,h. insbesondere, dass der Wert der Atemstromstärke beim Einatmen positiv ist. Für eine ruhende Testperson mit normalem Atemrhythmus wird die Atemstromstärke in Abhängigkeit von der Zeit modellhaft durch die Funktion mit Definitionsmenge beschrieben. Dabei ist die seit Beobachtungsbeginn vergangene Zeit in Sekunden und die Atemstromstärke in Litern pro Sekunde. Abbildung 5 zeigt den durch die Funktion beschriebenen zeitlichen Verlauf der Atemstromstärke.

1. Berechnen Sie und interpretieren Sie das Vorzeichen dieses Werts im Sachzusammenhang.

   (2 BE)

2. Beim Atmen ändert sich das Luftvolumen in der Lunge. Geben Sie auf der Grundlage des Modells einen Zeitpunkt an, zu dem das Luftvolumen in der Lunge der Testperson minimal ist, und machen Sie Ihre Antwort mithilfe von Abbildung 5 plausibel.

   (2 BE)

3. Berechnen Sie

   und deuten Sie den Wert des Integrals im Sachzusammenhang.

   Teilergebnis: Wert des Integrals:

   (4 BE)

4. Zu Beginn eines Ausatemvorgangs befinden sich 3,5 Liter Luft in der Lunge der Testperson. Skizzieren Sie auf der Grundlage des Modells unter Berücksichtigung des Ergebnisses aus Aufgabe 3c in einem Koordinatensystem für den Graphen einer Funktion, die den zeitlichen Verlauf des Luftvolumens in der Lunge der Testperson beschreibt.

   (3 BE)

Die Testperson benötigt für einen vollständigen Atemzyklus 4 Sekunden.
Die Anzahl der Atemzyklen pro Minute wird als Atemfrequenz bezeichnet.

5. Geben Sie zunächst die Atemfrequenz der Testperson an.
   Die Atemstromstärke eines jüngeren Menschen, dessen Atemfrequenz um höher ist als die der bisher betrachteten Testperson, soll durch eine Sinusfunktion der Form mit und beschrieben werden. Ermitteln Sie den Wert von .
   (4 BE)

Lösung

Lösung zu Aufgabe 1

1. Die ersten beiden Ableitungen der Funktion mit sind gegeben durch

   Der Punkt ist ein Wendepunkt des Graphen der Funktion , es gelten also und . Folgende Gleichungen müssen also erfüllt sein:
   Einsetzen von in liefert:
   Einsetzen von in Gleichung liefert:
   Die Funktionsgleichung ist also gegeben durch .

2. Gesucht sind die Extrempunkte des Funktionsgraphen von :

   Nach dem Satz vom Nullprodukt ist ein Produkt genau dann Null, wenn mindestens einer der Faktoren Null ist. Also:
   Der Punkt ist nach Aufgabenstellung ein Wendepunkt. Die Stelle ist also der einzige Kandidat für einen Extrempunkt. Die zweite Ableitung der Funktion ist gegeben durch:
   Damit gilt:
   Der Graph von hat also an der Stelle einen Tiefpunkt. Mit
   sind die Koordinaten des Tiefpunkts :

3. Koordinatensystem mit dem Graphen und der Geraden .

   Die beiden Punkte und liegen auf der Geraden . Die allgemeine Geradengleichung ist gegeben durch . Punktproben mit den beiden gegebenen Punkten liefern:
   Beide Gleichungen sind also genau dann wahr, wenn , und dies ist gleichbedeutend mit . Damit kann berechnet werden, denn:
   Die gesuchte Gleichung für die Gerade lautet .

   Alternativer Weg
   Falls eine Gerade mit der Gleichung durch die beiden Punkte und verläuft, kann die Steigung berechnet werden als:

   Für die gesuchte Gerade mit den vorgegebenen Punkten und gilt damit:
   Der -Achsenabschnitt wird mit einer Punktprobe, zum Beispiel mit ermittelt:
   Die Gerade hat also die Gleichung .

4. Gesamtflächeninhalt

   Im Intervall verläuft unterhalb der -Achse. Die Fläche , welche mit der -Achse einschließt, kann also folgendermaßen berechnet werden:

   Teilflächeninhalt

   Die Schnittpunkte der beiden Graphen sind und . Die von den beiden Graphen eingeschlossene Fläche kann also, weil unterhalb der Geraden verläuft, wie folgt berechnet werden:

   Verhältnis der Flächeninhalte

   Die von den beiden Graphen eingeschlossene Fläche hat den Flächeninhalt . Die Gesamtfläche hat den Flächeninhalt . Somit teilt die Gerade die Fläche, die von und der -Achse eingeschlossen wird, im Verhältnis .

Lösung zu Aufgabe 2

1. Nur der Graph in Abbildung 3 ist nicht symmetrisch zur -Achse und gehört zur Funktion , weil nur der Funktionsterm von eine ungerade Potenz von enthält. Desweiteren schneidet genau einer der Graphen, nämlich der von die -Achse nicht im Punkt . Somit ist klar, dass Abbildung 3 den Graphen von zeigt und Abbildung 4 den Graphen von . Außerdem hat genau eine Nullstelle. Abbildung 1 kann also nicht den Graphen von zeigen, sondern muss folglich den von zeigen. Somit zeigt Abbildung 2 den Graphen von .
2. Der Funktionsterm der Funktion ist gegeben durch . Für ist die Funktionsgleichung eines Polynoms vom Grad . Das Verhalten des Polynoms im Unendlichen entspricht dem Verhalten des Terms im Unendlichen.
   Es gilt also:
   

Lösung zu Aufgabe 3

1. Es gilt:

   Die Testperson atmet also nach Beobachtungsbeginn aus, denn das Vorzeichen von ist negativ.

2. Die Funktion stellt die Änderungsrate des Luftvolumens in der Lunge dar. Das Luftvolumen in der Lunge sinkt also, wenn der Graph von unterhalb der -Achse verläuft. Wenn der Graph von oberhalb der -Achse verläuft, steigt das Luftvolumen in der Lunge wieder an. Also ist das Luftvolumen in der Lunge genau an einer Nullstelle von mit Vorzeichenwechsel von nach minimal. Das Luftvolumen ist also zum Beispiel nach oder minimal.

   Alternativer Weg
   Die Funktion stellt die Änderungsrate des Luftvolumens in der Lunge dar. Das Luftvolumen in der Lunge entspricht also der Summe aus der orientierten Fläche unter der Kurve und dem Luftvolumen zu Beginn der Beobachtung. Dann kann der Zeitpunkt, an dem das Lungenvolumen minimal ist, aus Abbildung 5 abgelesen werden, also zum Beispiel nach oder .

3. Es gilt:

   Die Testperson hat nach Beobachtungsbeginn mehr Luft in ihren Lungen als nach Beobachtungsbeginn.

4. Das Luftvolumen in der Lunge kann berechnet werden als Summe des Luftvolumens zu Beginn der Beobachtung und der Fläche unter dem Graphen der Funktion . In Aufgabenteil c) wurde das Volumen berechnet, welches während eines Einatmungszyklus aufgenommen wird. Dieses beträgt . Die Frequenz, mit der sich das Luftvolumen ändert, bleibt dieselbe wie die Frequenz der Änderungsrate.
   Der Beobachtungszeitraum beginnt mit einem Ausatemvorgang. Der zeitliche Verlauf des Luftvolumens in der Lunge hat also den folgenden Graphen.

5. Atemfrequenz der Testperson

   Ein Atemzyklus der Testperson dauert . Somit liegt die Atemfrequenz der Testperson bei Atemzyklen pro Minute.

   Atemstromstärke eines jüngeren Menschen

   Die Atemfrequenz des jüngeren Menschen ist um höher als die der Testperson. Diese liegt also bei Atemzyklen pro Minute. Es gilt:

   Ein Atemzyklus dauert also ungefähr . Dies entspricht der Periodenlänge der Funktion mit . Somit kann der Wert des Parameters berechnet werden.