Abi Bayern 2015 Analysis B1

Aufgabe

Aufgabe 1

Gegeben ist die Funktion mit und Definitionsbereich [2pt] . Der Graph von wird mit bezeichnet.

1. Zeigen Sie, dass zu jedem der drei folgenden Terme äquivalent ist:
   
   (4 BE)
2. Begründen Sie, dass die -Achse horizontale Asymptote von ist, und geben Sie die Gleichungen der vertikalen Asymptoten von an.
   Bestimmen Sie die Koordinaten des Schnittpunkts von mit der -Achse.
   (3 BE)

Abbildung 1 zeigt den Graphen der in definierten Funktion
, die die Nullstellen und hat.
Für gilt .

3. Gemäß der Quotientenregel gilt für die Ableitungen und die Beziehung für .
   Zeigen Sie unter Verwendung dieser Beziehung und ohne Berechnung von und , dass einzige Nullstelle von ist und dass in streng monoton steigend sowie in streng monoton fallend ist.
   Geben Sie Lage und Art des Extrempunkts von an.
   (5 BE)
4. Berechnen Sie und und skizzieren Sie unter Berücksichtigung der bisherigen Ergebnisse in Abbildung 1.
   (4 BE)

Aufgabe 2

Gegeben ist die Funktion mit Definitionsbereich . Abbildung 2 zeigt den Graphen von .

1. Begründen Sie anhand des Funktionsterms, dass gilt.
   Zeigen Sie rechnerisch für , dass für die Ableitung von gilt:
   .
   (4 BE)

Gegeben ist ferner die in definierte Integralfunktion .

2. Begründen Sie ohne weitere Rechnung, dass folgende Aussagen wahr sind:

   1. Der Graph von ist streng monoton steigend.
   2. Der Graph von ist rechtsgekrümmt.
      (4 BE)

3. Geben Sie die Nullstelle von an und bestimmen Sie näherungsweise mithilfe von Abbildung 2 die Funktionswerte sowie . Skizzieren Sie in Abbildung 2 den Graphen von im Bereich .

   (6 BE)

Aufgabe 3

In einem Labor wird ein Verfahren zur Reinigung von mit Schadstoffen kontaminiertem Wasser getestet. Die Funktion aus Aufgabe 2 beschreibt für modellhaft die zeitliche Entwicklung des momentanen Schadstoffabbaus in einer bestimmten Wassermenge. Dabei bezeichnet die momentane Schadstoffabbaurate in Gramm pro Minute und die seit Beginn des Reinigungsvorgangs vergangene Zeit in Minuten.

1. Bestimmen Sie auf der Grundlage des Modells den Zeitpunkt , zu dem die momentane Schadstoffabbaurate auf 0,01 Gramm pro Minute zurückgegangen ist.
   (3 BE)
   
   Die in definierte Funktion stellt im Bereich eine gute Näherung für die Funktion dar.
2. Beschreiben Sie, wie der Graph der Funktion aus dem Graphen der Funktion aus Aufgabe 1 hervorgeht.
   (2 BE)
3. Berechnen Sie einen Näherungswert für , indem Sie den Zusammenhang verwenden. Geben Sie die Bedeutung dieses Werts im Sachzusammenhang an.
   (5 BE)

Lösung

Lösung zu Aufgabe 1

Betrachtet wird die Funktion mit und .

1. Zwei Terme sind äquivalent, wenn sie für jedes zulässige Argument aus den gleichen Wert annehmen können. Es soll also nachgewiesen werden, dass für jedes gilt:

   Nachweis des Gleichheitszeichens (1)

   In der Funktionsgleichung stehen zwei Bruchterme, die voneinander subtrahiert werden müssen. Dazu ermittelt man -- wie bei "normalen"Brüchen -- einen gemeinsamen Nenner und erweitert die Bruchterme entsprechend. Anschließend werden die Klammern im Zähler aufgelöst und dieser zusammengefasst:

   Nachweis des Gleichheitszeichens (2)

   Im zweiten Schritt werden die Klammern im Nenner ausmultipliziert:

   Nachweis des Gleichheitszeichens (3)

   Der Term wird mit erweitert. Dann gilt:

   Dies entspricht gerade der Aussage von Gleichheitszeichen (3).

   Alternativer Weg
   Zum Nachweis der dritten Äquivalenz ergänzt man quadratisch im Nenner und kürzt den zuletzt erhaltenen Bruchterm mit :

2. Begründung, dass die -Achse horizontale Asymptote ist

   Im letzten Aufgabenteil wurde gezeigt, dass der Funktionsterm von auch wie folgt geschrieben werden kann:

   Der Grad des Zählers ist also und der des Nenners . Somit gilt Zählergrad Nennergrad, weshalb die -Achse horizontale Asymptote ist.

   Alternativer Weg
   Es gilt:

   Somit ist die -Achse horizontale Asymptote.

   Gleichungen der vertikalen Asymptoten

   Vertikale Asymptoten treten bei Nullstellen des Nenners auf, die nicht zugleich Nullstellen des Zählers sind. Aus Teilaufgabe a) ist bekannt, dass man den Funktionsterm von auch schreiben kann als:

   Diese Darstellung ermöglicht es, die bei und liegenden Nullstellen des Nenners einfach abzulesen. Da der Zähler keine Nullstellen besitzt, hat zwei vertikale Asymptoten. Deren Gleichungen sind:

   Schnittpunkte von mit der -Achse

   Da für alle Punkte auf der -Achse gilt und im Definitionsbereich von liegt, schneidet die -Achse in genau einem Punkt, nämlich in . Es muss also nur der Funktionswert für berechnet werden:

   Der gesuchte Schnittpunkt ist somit .

3. Nullstelle von

   Der Graph von ist eine nach oben geöffnete Parabel mit Scheitelpunkt . Der Graph der Funktion besitzt also an der Stelle einen Tiefpunkt. Es gilt also:

   Außerdem gilt:
   Damit ist:
   Also ist eine Nullstelle der Funktion .

   einzige Nullstelle von

   Jede Nullstelle der Funktion muss auch eine Nullstelle der Funktion sein. Nullstellen der Funktion sind gleichbedeutend mit Stellen, an denen der Graph von Extrempunkte oder Sattelpunkte besitzt. Der Graph von ist eine nach oben geöffnete Parabel mit Scheitelpunkt . Der einzige Extrempunkt liegt also an der Stelle , somit ist die einzige Nullstelle der Funktion .

   Monotonie von

   Es gilt:

   Die Nullstellen der Funktion liegen nicht in . Wegen für alle gilt:
   Im Intervall ist der Graph der Funktion streng monoton fallend, es gilt also . Damit ist in diesem Intervall streng monoton steigend. Im Intervall ist der Graph der Funktion streng monoton steigend, es gilt also . Damit ist in diesem Intervall streng monoton fallend.

   Art und Lage der Extrempunkte

   Oben wurde gezeigt, dass die einzige Nullstelle der Funktion ist. Somit ist diese Nullstelle der einzige Kandidat für einen Extrempunkt. Die Monotoniebetrachtung zeigt, dass diese Nullstelle eine Nullstelle mit Vorzeichenwechsel von nach ist. Also ist der Extrempunkt ein Hochpunkt. Es gilt:

   Somit hat der Graph den Hochpunkt .

4. Für die Funktionswerte und gelten:

   Damit kann der Graph der Funktion nun in Abbildung 1 eingezeichnet werden.

Lösung zu Aufgabe 2

Betrachtet wird die Funktion mit .

1. Verhalten im Unendlichen

   Es gilt:

   Vorzeichen der Ableitung

   Zunächst wird die Ableitung der Funktion mithilfe der Quotientenregel bestimmt:

   Für gilt aufgrund der Monotonie der Exponentialfunktion
   Folglich ist:
   Insgesamt gilt damit für alle .

2. Die Integralfunktion ist definiert als:

   mit dem gleichen Definitionsbereich wie die Funktion , also .

   Begründung, dass der Graph von streng monoton steigend ist

   Da die Integralfunktion von ist, gilt:

   Nach Aufgabenteil a) ist auf ganz , also ist streng monoton fallend. Außerdem wurde bereits gezeigt, dass gilt:
   Damit ist für alle im Definitionsbereich von beziehungsweise . Die erste Ableitung von ist also stets positiv und somit ist der Graph von streng monoton steigend.

   Graph von ist rechtsgekrümmt

   Die zweite Ableitung der Funktion ist gleich der ersten Ableitung der Funktion , also gilt nach Aufgabenteil a):

   Die zweite Ableitung von ist also stets negativ, und damit ist der Graph von rechtsgekrümmt.

3. Nullstelle von

   Wie in Teilaufgabe b) begründet wurde, ist der Graph von streng monoton steigend. Entsprechend kann höchstens eine Nullstelle haben. Da für die obere und untere Grenze des Integrals gleich sind, gilt:

   Die einzige Nullstelle der Funktion ist .

   Graphische Bestimmung von und

   In die Zeichnung des Graphen aus der Aufgabenstellung werden die Senkrechten mit und eingezeichnet.

   Die gesuchten Funktionswerte und lassen sich näherungsweise ermitteln, in dem die von den jeweiligen Senkrechten und den Achsen eingeschlossen Kästchen gezählt werden. Ein vollständig gefülltes Kästchen entspricht dabei . Die Gerade und die Koordinatenachsen schließen ungefähr fünf und ein halbes Kästchen ein, die in der Zeichnung hellgrau gefärbt sind. Unter Beachtung der Integrationsrichtung ergibt sich:
   Die von der Senkrechten und den Koordinatenachsen eingeschlossenen Kästchen sind in der Zeichnung dunkelgrau gefärbt. Es sind etwa fünf und ein viertel Kästchen. Somit ist:

   Skizze des Graphen von

   Unter Verwendung der ermittelten Nullstelle des Graphen von und der beiden Näherungswerte für und sowie der Tatsache, das streng monoton wachsend und rechts gekrümmt ist, lässt sich der Graph von wie folgt in die Zeichnung aus der Aufgabenstellung einskizzieren.

Lösung zu Aufgabe 3

Die Funktion aus Aufgabe 2 beschreibt für die zeitliche Entwicklung des momentanen Schadstoffabbaus in einer bestimmten Wassermenge. Dabei bezeichnet die momentane Schadstoffabbaurate in Gramm pro Minute und die seit Beginn des Reinigungsvorganges verstrichene Zeit in Minuten.

1. Zeitpunkt, zu dem die Schadstoffabbaurate Gramm pro Minute beträgt

   Gesucht ist der Zeitpunkt , für den gilt:

   Um diese Gleichung zu lösen wird sie zunächst umgeformt und anschließend logarithmiert:
   Die Schadstoffabbaurate beträgt nach etwa Minuten, das sind 4 Minuten und 42 Sekunden, nur noch Gramm pro Minute. Die Funktion
   mit wird im Bereich als Näherung für die Funktion verwendet.

2. Der Graph der Funktion geht aus dem Graphen der in Aufgabe 1 verwendeten Funktion mit

   durch Streckung mit dem Faktor 3 in -Richtung und anschließende Verschiebung um in -Richtung hervor.

3. Näherungswert für unter Verwendung der Funktion

   Es gilt:

   Bedeutung des Wertes im Sachzusammenhang

   Da die momentane Schadstoffabbaurate in Gramm pro Minute und die seit Beginn des Reinigungsvorganges verstrichene Zeit bezeichnen, entspricht das bestimmte Integral von der zwischen den Integrationsgrenzen abgebauten Schadstoffmenge in Gramm:

   Dies bedeutet also, dass in der ersten Minute ungefähr Gramm Schadstoffe abgebaut werden.