Abi Bayern 2015 Analysis A2

Aufgabe

Aufgabe 1

Gegeben ist die Funktion mit maximaler Definitionsmenge und Wertemenge . Der Graph von wird mit bezeichnet.

1. Geben Sie und an.
   (2 BE)
2. Ermitteln Sie die Gleichung der Tangente an im Schnittpunkt von mit der -Achse.
   (4 BE)

Aufgabe 2

Gegeben ist die Funktion mit und .

1. Weisen Sie nach, dass der Wendepunkt des Graphen von auf der Geraden mit der Gleichung liegt.
   (3 BE)
2. Der Graph von wird verschoben. Der Punkt des Graphen der Funktion besitzt nach der Verschiebung die Koordinaten . Der verschobene Graph gehört zu einer Funktion . Geben Sie eine Gleichung von an.
   (2 BE)

Aufgabe 3

Geben Sie jeweils den Term einer Funktion an, die die angegebene(n) Eigenschaft(en) besitzt.

1. Die Funktion hat die maximale Definitionsmenge .
   (2 BE)
2. Die Funktion hat in eine Nullstelle und in eine Polstelle ohne Vorzeichenwechsel. Der Graph von hat die Gerade mit der Gleichung als Asymptote.
   (3 BE)

Aufgabe 4

Gegeben ist die Schar der in definierten Funktionen mit . Ermitteln Sie, für welchen Wert von die erste Ableitung von an der Stelle den Wert besitzt.

Lösung

Lösung zu Aufgabe 1

1. Definitionsbereich

   Die Logarithmusfunktion ist nur für positive Argumente definiert, es muss also gelten:

   Somit gilt .

   Wertebereich

   Die Wertemenge der Funktion ist dieselbe wie die Wertemenge der Funktion mit , denn das Argument der Funktion ist und kann für jede beliebige positive reelle Zahl annehmen. Somit gilt .

2. Nullstelle von

   Zur Bestimmung der Nullstelle wird die Gleichung gelöst:

   Die Nullstelle ist also gegeben durch .

   Tangentengleichung im Punkt

   Zunächst wird die Ableitung der Funktion mit der Kettenregel bestimmt:

   Die Steigung des Graphen der Funktion am Schnittpunkt mit der -Achse ist dann gegeben durch:
   Die Tangente hat also die Gleichung:
   Um zu berechnen, wird eine Punktprobe mit dem Punkt durchgeführt. Es gilt:
   Somit ist die Gleichung der gesuchten Tangente gegeben durch .

   Alternativer Weg
   Die Gleichung der Tangente im Punkt ist gegeben durch:

   Die Tangente im Punkt ist damit gegeben durch:
   Es gilt:
   Die Tangentengleichung lautet somit:

Lösung zu Aufgabe 2

1. Koordinaten des Wendepunktes

   Zunächst werden die ersten Ableitungen der Funktion berechnet:

   Eine mögliche Wendestelle ist durch die Lösung der Gleichung gegeben:
   Wegen befindet sich an der Stelle ein Wendepunkt. Es gilt:

   Der Wendepunkt des Graphen von besitzt die Koordinaten

   Lage des Wendepunktes

   Es gilt und . Eine Punktprobe liefert:

   Die Punktprobe ergibt eine wahre Aussage und somit liegt der Wendepunkt des Graphen auf der angegeben Geraden.

2. Verschiebung des Graphen nach oben

   Der Graph der Funktion wird zunächst um nach oben geschoben. Dieser neue Graph gehört zur Funktion mit der Gleichung

   Der Punkt hat nach dieser Verschiebung die Koordinaten .

   Verschiebung des Graphen nach rechts

   Der Graph der Funktion wird nun noch um nach rechts verschoben. Der neu entstandene Graph erfüllt dann die geforderte Eigenschaft (der Punkt wurde in den Punkt verschoben) und besitzt die Funktionsgleichung

Lösung zu Aufgabe 3

1. Gesucht ist eine Funktion mit der maximalen Definitionsmenge . Eine Funktionenklasse, welche die Definitionsmenge derartig einschränkt, sind zum Beispiel die Wurzelfunktionen. Für alle muss der Radikand, also der Term unter der Wurzel, positiv sein. Eine einfache Funktion, welche diese Eigenschaften besitzt, hat folgende Funktionsgleichung:

   Alternativer Weg
   Natürlich gibt es auch komplexere Funktionen, die diese Eigenschaften erfüllen. Zum Beispiel die folgenden Funktionen:

   Allgemein können beliebige Funktionen, die auf ganz definiert sind, durch Addition oder Multiplikation mit auf den gesuchten Definitionsbereich eingeschränkt werden.

2. Die geforderten Eigenschaften werden von der Funktionenklasse der gebrochenrationalen Funktionen erfüllt. Weil eine Nullstelle der Funktion ist, muss der Faktor im Zähler, darf aber nicht im Nenner enthalten sein. Weil eine Polstelle ohne Vorzeichenwechsel ist, muss der Faktor im Nenner, darf aber nicht im Zähler enthalten sein. Die Gerade mit der Gleichung ist waagrechte Asymptote des Graphen von , damit muss der Zählergrad gleich dem Nennergrad sein und der Quotient der Leitkoeffizienten muss sein. Eine Funktion, welche die Bedingungen erfüllt, hat folgende Funktionsgleichung:

   Alternativer Weg
   Auch die folgende Funktion erfüllt die geforderten Eigenschaften:

Lösung zu Aufgabe 4

Die Funktion ist definiert als . Die erste Ableitung der Funktion ist gegeben durch: