Abi Bayern 2015 Analysis A1

Aufgabe

Aufgabe 1

Gegeben ist die Funktion mit maximalem Definitionsbereich .

1. Geben Sie an.
   (1 BE)
2. Bestimmen Sie die Nullstellen von .
   (2 BE)

Aufgabe 2

Gegeben sind die in definierten Funktionen , und mit , und

1. Abbildung 1 zeigt den Graphen einer der drei Funktionen. Geben Sie an, um welche Funktion es sich handelt. Begründen Sie, dass der Graph die anderen beiden Funktionen nicht darstellt.

   (3 BE)

2. Die erste Ableitungsfunktion von ist .

   Bestimmen Sie den Wert von .

   (2 BE)

Aufgabe 3

1. Geben Sie einen positiven Wert für den Parameter an, sodass die in definierte Funktion eine Nullstelle in hat.

   (1 BE)

2. Ermitteln Sie den Wert des Parameters , sodass die Funktion

   den maximalen Definitionsbereich besitzt.

   (2 BE)

3. Erläutern Sie, dass die in definierte Funktion den Wertebereich besitzt.

   (2 BE)

Aufgabe 4

Abbildung 2 zeigt den Graphen einer in definierten differenzierbaren Funktion . Mithilfe des Newton-Verfahrens soll ein Näherungswert für die Nullstelle von ermittelt werden. Begründen Sie, dass weder die -Koordinate des Hochpunkts noch die -Koordinate des Tiefpunkts als Startwert des Newton-Verfahrens gewählt werden kann.

Aufgabe 5

Gegeben ist die Funktion mit und .

1. Weisen Sie nach, dass der Wendepunkt des Graphen von auf der Geraden mit der Gleichung liegt.
   (3 BE)
2. Der Graph von wird verschoben. Der Punkt des Graphen der Funktion besitzt nach der Verschiebung die Koordinaten . Der verschobene Graph gehört zu einer Funktion . Geben Sie eine Gleichung von an.
   (2 BE)

Lösung

Lösung zu Aufgabe 1

1. Zur Bestimmung der Definitionsmenge werden die beiden Faktoren der Funktion betrachtet. Der erste Faktor, , schränkt die Definitionsmenge nicht ein. Der zweite Faktor, , ist definiert für alle positiven reellen Zahlen. Die Definitionsmenge der Funktion ist also gegeben durch .
2. Nach dem Satz vom Nullprodukt ist ein Produkt genau dann Null, wenn mindestens einer der Faktoren Null ist. Somit können die Nullstellen der Funktion berechnet werden, indem man die beiden Faktoren getrennt betrachtet:
   Die Nullstellen der Funktion sind gegeben durch und .

Lösung zu Aufgabe 2

1. Der in Abbildung 1 dargestellte Graph verläuft durch die Punkte , und . Es wird untersucht, ob die Graphen der angegebenen Funktionen ebenfalls durch diese Punkte verlaufen.
   Damit ist ersichtlich, dass nur der Graph der Funktion durch die Punkte , und verläuft. Somit stellt der Graph in Abbildung 1 den Graphen der Funktion dar.
2. Für die Funktion und deren Ableitung gilt nach dem Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung:
   Der gesuchte Wert des Integrals kann also berechnet werden als:

Lösung zu Aufgabe 3

1. Gesucht sind zunächst die Nullstellen der Funktion mit . Es gilt:

   Die Nullstellen der Funktion sind also gegeben durch:
   Gesucht ist nun ein Wert des Parameters , sodass eine Nullstelle in liegt. Die folgende Gleichung muss also für ein gelöst werden:
   Weil der Parameter nach Aufgabenstellung positiv ist, kann zum Beispiel gewählt werden und eine Lösung ist .

   Alternativer Weg
   Im letzten Schritt könnte auch ein anderes gewählt werden. Für jedes und ist eine Nullstelle der Funktion .

2. Der maximale Definitionsbereich der Funktion mit ist für gegeben durch , denn für diese Werte ist der Term unter der Wurzel nicht negativ. Es gilt:

   und damit
   Für gilt für den Definitionsbereich .

3. Die Funktion mit hat den Wertebereich . Den Graphen der Funktion mit erhält man, wenn man den Graphen der Funktion an der -Achse spiegelt. Damit hat die Funktion den Wertebereich . Den Graphen der Funktion mit erhält man, indem man den Graphen der Funktion um Längeneinheiten nach oben verschoben wird. Damit hat die Funktion den Wertebereich .

   Alternativer Weg
   Die Ableitung der Funktion ist gegeben durch:

   Es gilt für alle , damit ist die Funktion monoton fallend. Außerdem gelten:
   Die Gleichung hat keine Lösung, denn es gilt für alle . Somit besitzt die Funktion den Wertebereich .

Lösung zu Aufgabe 4

Zur näherungsweisen Bestimmung einer Nullstelle der Funktion mittels des Newton"=Verfahrens wird ein Startwert gewählt. Eine erste Näherung für die Nullstelle erfolgt dann mittels der folgenden Formel:

Alternativer Weg
Im Newton-Verfahren wird ausgehend vom Startwert im Punkt eine Tangente an den Graphen von gelegt. Die Nullstelle dieser Tangente ist dann die erste Näherung für die Nullstelle der Funktion .

Lösung zu Aufgabe 5

1. Koordinaten des Wendepunktes

   Zunächst werden die ersten Ableitungen der Funktion berechnet:

   Eine mögliche Wendestelle ist durch die Lösung der Gleichung gegeben:
   Wegen befindet sich an der Stelle ein Wendepunkt. Es gilt:

   Der Wendepunkt des Graphen von besitzt die Koordinaten

   Lage des Wendepunktes

   Es gilt und . Eine Punktprobe liefert:

   Die Punktprobe ergibt eine wahre Aussage und somit liegt der Wendepunkt des Graphen auf der angegeben Geraden.

2. Verschiebung des Graphen nach oben

   Der Graph der Funktion wird zunächst um nach oben geschoben. Dieser neue Graph gehört zur Funktion mit der Gleichung

   Der Punkt hat nach dieser Verschiebung die Koordinaten .

   Verschiebung des Graphen nach rechts

   Der Graph der Funktion wird nun noch um nach rechts verschoben. Der neu entstandene Graph erfüllt dann die geforderte Eigenschaft (der Punkt wurde in den Punkt verschoben) und besitzt die Funktionsgleichung