Videolösungen
Aufgabe
Aufgabe 1
Gegeben ist die Funktion
- Geben Sie
an. (1 BE) - Bestimmen Sie die Nullstellen von
. (2 BE)
Aufgabe 2
Gegeben sind die in
-
Abbildung 1 zeigt den Graphen einer der drei Funktionen. Geben Sie an, um welche Funktion es sich handelt. Begründen Sie, dass der Graph die anderen beiden Funktionen nicht darstellt.
(3 BE) -
Die erste Ableitungsfunktion von
ist . Bestimmen Sie den Wert von
. (2 BE)
Aufgabe 3
-
Geben Sie einen positiven Wert für den Parameter
an, sodass die in definierte Funktion eine Nullstelle in hat. (1 BE) -
Ermitteln Sie den Wert des Parameters
, sodass die Funktion den maximalen Definitionsbereich besitzt. (2 BE) -
Erläutern Sie, dass die in
definierte Funktion den Wertebereich besitzt. (2 BE)
Aufgabe 4
Abbildung 2 zeigt den Graphen einer in
Aufgabe 5
Gegeben ist die Funktion
- Weisen Sie nach, dass der Wendepunkt des Graphen von
auf der Geraden mit der Gleichung liegt. (3 BE) - Der Graph von
wird verschoben. Der Punkt des Graphen der Funktion besitzt nach der Verschiebung die Koordinaten . Der verschobene Graph gehört zu einer Funktion . Geben Sie eine Gleichung von an. (2 BE)
Lösung
Lösung zu Aufgabe 1
- Zur Bestimmung der Definitionsmenge werden die beiden Faktoren der Funktion
betrachtet. Der erste Faktor, , schränkt die Definitionsmenge nicht ein. Der zweite Faktor, , ist definiert für alle positiven reellen Zahlen. Die Definitionsmenge der Funktion ist also gegeben durch . - Nach dem Satz vom Nullprodukt ist ein Produkt genau dann Null, wenn mindestens einer der Faktoren Null ist. Somit können die Nullstellen der Funktion
berechnet werden, indem man die beiden Faktoren getrennt betrachtet: Die Nullstellen der Funktionsind gegeben durch und .
Lösung zu Aufgabe 2
- Der in Abbildung 1 dargestellte Graph verläuft durch die Punkte
, und . Es wird untersucht, ob die Graphen der angegebenen Funktionen ebenfalls durch diese Punkte verlaufen. Damit ist ersichtlich, dass nur der Graph der Funktiondurch die Punkte , und verläuft. Somit stellt der Graph in Abbildung 1 den Graphen der Funktion dar. - Für die Funktion
und deren Ableitung gilt nach dem Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung: Der gesuchte Wert des Integrals kann also berechnet werden als:
Lösung zu Aufgabe 3
-
Gesucht sind zunächst die Nullstellen der Funktion
mit . Es gilt: Die Nullstellen der Funktionsind also gegeben durch: Gesucht ist nun ein Wert des Parameters, sodass eine Nullstelle in liegt. Die folgende Gleichung muss also für ein gelöst werden: Weil der Parameternach Aufgabenstellung positiv ist, kann zum Beispiel gewählt werden und eine Lösung ist . Alternativer Weg
Im letzten Schritt könnte auch ein anderesgewählt werden. Für jedes und ist eine Nullstelle der Funktion . -
Der maximale Definitionsbereich der Funktion
mit ist für gegeben durch , denn für diese Werte ist der Term unter der Wurzel nicht negativ. Es gilt: und damitFürgilt für den Definitionsbereich . -
Die Funktion
mit hat den Wertebereich . Den Graphen der Funktion mit erhält man, wenn man den Graphen der Funktion an der -Achse spiegelt. Damit hat die Funktion den Wertebereich . Den Graphen der Funktion mit erhält man, indem man den Graphen der Funktion um Längeneinheiten nach oben verschoben wird. Damit hat die Funktion den Wertebereich . Alternativer Weg
Die Ableitungder Funktion ist gegeben durch: Es giltfür alle , damit ist die Funktion monoton fallend. Außerdem gelten: Die Gleichunghat keine Lösung, denn es gilt für alle . Somit besitzt die Funktion den Wertebereich .
Lösung zu Aufgabe 4
Zur näherungsweisen Bestimmung einer Nullstelle der Funktion
Alternativer Weg
Im Newton-Verfahren wird ausgehend vom Startwert
Lösung zu Aufgabe 5
-
Koordinaten des Wendepunktes
Zunächst werden die ersten Ableitungen der Funktion
berechnet: Eine mögliche Wendestelle ist durch die Lösung der Gleichunggegeben: Wegenbefindet sich an der Stelle ein Wendepunkt. Es gilt: Der Wendepunkt des Graphen von
besitzt die Koordinaten Lage des Wendepunktes
Es gilt
und . Eine Punktprobe liefert: Die Punktprobe ergibt eine wahre Aussage und somit liegt der Wendepunkt des Graphen auf der angegeben Geraden. -
Verschiebung des Graphen nach oben
Der Graph der Funktion
wird zunächst um nach oben geschoben. Dieser neue Graph gehört zur Funktion mit der Gleichung Der Punkthat nach dieser Verschiebung die Koordinaten . Verschiebung des Graphen nach rechts
Der Graph der Funktion wird nun noch um
nach rechts verschoben. Der neu entstandene Graph erfüllt dann die geforderte Eigenschaft (der Punkt wurde in den Punkt verschoben) und besitzt die Funktionsgleichung