Abi Bayern 2014 Stochastik B2

Aufgabe

Aufgabe 1

In einem Supermarkt erhalten Kunden abhängig vom Wert ihres Einkaufs eine bestimmte Anzahl von Päckchen mit Tierbildern, die in ein Sammelalbum eingeklebt werden können. Jedes Päckchen enthält fünf Bilder. Im Sammelalbum sind Plätze für insgesamt verschiedene Bilder vorgesehen. Die Bilder werden jeweils in großer Stückzahl mit der gleichen Häufigkeit produziert und auf die Päckchen zufällig verteilt, wobei sich die Bilder in einem Päckchen nicht unterscheiden müssen.

1. Begründen Sie, dass der Term die Wahrscheinlichkeit dafür beschreibt, dass sich in einem Päckchen fünf verschiedene Tierbilder befinden.

   (2 BE)

2. Einem Jungen fehlen in seinem Sammelalbum noch Bilder. Er geht mit seiner Mutter zum Einkaufen und erhält anschließend zwei Päckchen mit Tierbildern. Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die beiden Päckchen nur Bilder enthalten, die der Junge bereits in seinem Sammelalbum hat.

   (3 BE)
   Bei Kindern besonders beliebt sind die 3D-Bilder, auf denen die Tiere dreidimensional erscheinen. der für ein Sammelalbum vorgesehenen Bilder sind 3D-Bilder.

3. Ermitteln Sie, wie viele Päckchen ein Kind mindestens benötigt, um mit einer Wahrscheinlichkeit von mehr als mindestens ein 3D-Bild zu erhalten.

   (5 BE)

Aufgabe 2

Um Geld für die Ausstattung des örtlichen Kindergartens einzunehmen, veranstaltet der Supermarkt ein Gewinnspiel. Die fünf Sektoren des dabei eingesetzten Glücksrads sind von bis durchnummeriert. Die Größe der Sektoren ist direkt proportional zum Zahlenwert der Nummern; beispielsweise ist der Sektor mit der Nummer dreimal so groß wie der Sektor mit der Nummer . Nachdem der Spieler sechs Euro bezahlt hat, wird das Glücksrad einmal gedreht. Erzielt der Spieler eine der Nummern bis , so wird ihm der zugehörige Zahlenwert als Betrag in Euro ausgezahlt, erzielt er die Nummer , so erhält er eine Eintrittskarte für einen Freizeitpark im Wert von fünfzehn Euro.

1. Bestimmen Sie die Größe des Öffnungswinkels des Sektors mit der Nummer sowie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein Spieler bei einem Spiel eine Eintrittskarte gewinnt.
   (3 BE)
2. Berechnen Sie den Erwartungswert der Auszahlung pro Spiel, wenn der Gewinn einer Eintrittskarte mit einer Auszahlung von fünfzehn Euro gleichgesetzt wird. Interpretieren Sie das Ergebnis.
   (4 BE)
3. Der Supermarkt muss für jede Eintrittskarte nur zehn Euro an den Freizeitpark bezahlen. Damit ist bei der Spielaktion ein finanzieller Überschuss zu erwarten, der an den örtlichen Kindergarten gespendet werden soll. Ermitteln Sie den zu erwartenden Überschuss, wenn man davon ausgeht, dass das Spiel insgesamt -mal durchgeführt wird.
   (3 BE)

Lösung

Lösung zu Aufgabe 1

1. Die Tierbilder werden in großer Stückzahl mit der gleichen Häufigkeit produziert. Somit kann jedes Päckchen völlig beliebig mit der verschiedenen Tierbilder bestückt werden. Für jedes Bild bestehen stets alle Möglichkeiten und jedes Bild hat laut Angabe die gleiche Wahrscheinlichkeit. Damit erfüllt das Bestücken der Päckchen die Voraussetzung eines Laplace-Experiments.

   Der gegebene Term setzt sich wie folgt zusammen:

   Der Nenner gibt die Anzahl der Möglichkeiten an, beliebige Bilder im Päckchen zu haben. Bei jedem der Züge stehen alle Möglichkeiten zur Verfügung.

   Der Zähler gibt die Anzahl der Möglichkeiten an, verschiedene Bilder auszuwählen. Für das erste Bild stehen Bilder zur Verfügung, beim zweiten sind es nur noch , beim dritten etc.

   Der Term gibt die Laplace-Wahrscheinlichkeit an, beim fünfmaligen Ziehen jeweils ein anderes Bild zu wählen.

2. Der Junge hat bereits Bilder gesammelt. Er erhält Päckchen, also insgesamt Bilder. Die Wahrscheinlichkeit, dass er ein Bild erhält, das er bereits besitzt, beträgt . Bei Bildern berechnet sich die Wahrscheinlichkeit zu:

   Die Wahrscheinlichkeit dafür, nur Bilder zu erhalten, die er schon besitzt, beträgt .

3. Die Wahrscheinlichkeit für ein D-Bild beträgt . Gesucht ist die Anzahl der Bilder, bei der die Wahrscheinlichkeit mindestens ein Bild zu bekommen, mindestens beträgt. Im Folgenden beschreibt die Anzahl der D-Bilder bei Bildern. Das Ereignis tritt genau dann ein, wenn das Gegenereignis nicht eintritt. Es gilt also:

   Der Term beschreibt die Wahrscheinlichkeit unter Bildern kein D-Bild zu erhalten. Diese beträgt . Nun wird bestimmt:
   Das Ungleichheitszeichen in der vorletzten Umformung wird umgedreht, da negativ ist.

   Ein Kind benötigt mindestens Bilder beziehungsweise Päckchen, um mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens ${{/latex}} mindestens ein D-Bild zu erhalten.

Lösung zu Aufgabe 2

1. Das Glücksrad sieht beispielsweise wie folgt aus.

   Die Flächeninhalte der einzelnen Sektoren verhalten sich wie . Der Sektor besteht also aus einem Teil, der Sektor aus zwei Teilen etc.. Insgesamt sind es also Teile, in die das Glücksrad geteilt werden muss, um die Größe eines Teils zu erhalten. Das ganze Rad hat und die Fläche eines Kreissektors ist proportional zu seinem Mittelpunktswinkel, somit gilt für den Öffnungswinkel des Sektors mit der Nummer :
   Der Sektor mit der Nummer besteht aus der insgesamt Teile, also beträgt die Wahrscheinlichkeit:

2. Die Auszahlung ist eine Zufallsgröße , für die folgende Wahrscheinlichkeitsverteilung gilt.

   Der Erwartungswert ist somit:
   Der Spieler zahlt € für jedes Spiel, der erwartete Gewinn von € ist höher. Folglich macht der Supermarkt bei jedem Spiel einen durchschnittlichen Verlust von €. Für den Spieler heißt das wiederum, dass er bei jedem Spiel einen durchschnittlichen Gewinn von € macht.

3. In der obigen Tabelle wird die Zeile Auszahlung angepasst und spiegelt nun die Ausgaben des Supermarktes wider.

   Für den Erwartungswert gilt:
   Der Supermarkt hat bei jedem Spiel durchschnittliche Ausgaben in Höhe von ungefähr €. Die Einnahmen sind bei jedem Spiel nach wie vor €, der Überschuss beträgt also ungefähr €.

   Der erwartete Überschuss bei Spielen beträgt also:

   Der Überschuss bei Spielen liegt also im Schnitt bei €.