Abi Bayern 2014 Stochastik A2

Aufgabe

Aufgabe 1

In Urne befinden sich zwei rote und drei weiße Kugeln. Urne enthält drei rote und zwei weiße Kugeln. Betrachtet wird folgendes Zufallsexperiment:

Aus Urne wird eine Kugel zufällig entnommen und in Urne gelegt; danach wird aus Urne eine Kugel zufällig entnommen und in Urne gelegt.

1. Geben Sie alle Möglichkeiten für den Inhalt der Urne nach der Durchführung des Zufallsexperiments an.
   (2 BE)
2. Betrachtet wird das Ereignis : "Nach Durchführung des Zufallsexperiments befinden sich wieder drei weiße Kugeln in Urne ." Untersuchen Sie, ob das Ereignis eine größere Wahrscheinlichkeit als sein Gegenereignis hat.
   (3 BE)

Aufgabe 2

Das Baumdiagramm gehört zu einem Zufallsexperiment mit den Ereignissen und .

1. Berechnen Sie .
   (1 BE)
2. Weisen Sie nach, dass die Ereignisse und abhängig sind.
   (2 BE)
3. Von den im Baumdiagramm angegebenen Zahlenwerten soll nur der Wert so geändert werden, dass die Ereignisse und unabhängig sind. Bestimmen Sie den geänderten Wert.
   (2 BE)

Lösung

Lösung zu Aufgabe 1

Beim ersten Ziehen befinden sich Kugeln in der Urne und beim zweiten Ziehen liegen Kugeln in der Urne . Folgendes Baumdiagramm stellt das Experiment dar.

1. Dem Baumdiagramm entnimmt man die möglichen Ausgänge für Urne :
2. Betrachtet man das Baumdiagramm, dann sind am Ende des Experiments weiße Kugeln in der Urne , wenn man entweder zwei rote Kugeln oder zwei weiße Kugeln zieht. Nach der 2. Pfadregel ist die Wahrscheinlichkeit für die Summe der Wahrscheinlichkeiten der einzelnen Pfade:
   Die Wahrscheinlichkeit für das Gegenereignis ist:
   Die Wahrscheinlichkeit für das Ereignis ist also größer als die Wahrscheinlichkeit für das Gegenereignis.

Lösung zu Aufgabe 2

Folgende Wahrscheinlichkeiten lassen sich aus dem in der Aufgabe angegebenen Baumdiagramm ablesen.

Die Wahrscheinlichkeit zu ziehen, unter der Bedingung bereits gezogen zu haben:

1. Die Wahrscheinlichkeit von lässt sich über die Gegenwahrscheinlichkeit von berechnen:

   Nun benötigt man hierfür die Wahrscheinlichkeit . Diese lässt sich wie folgt berechnen:
   Die Wahrscheinlichkeiten und lassen sich aus dem in der Aufgabe gegebenen Baumdiagramm ablesen:
   Es gelten:
   und:

2. Die Ereignisse und sind genau dann abhängig, wenn gilt:

   Um die Ungleichung zu überprüfen, muss noch die Wahrscheinlichkeit berechnet werden.

   Nach der 1. Pfadregel ist die Wahrscheinlichkeit eines Elementarereignisses im Baumdiagramm gleich dem Produkt der Wahrscheinlichkeiten entlang des zugehörigen Pfades. Es gilt also:

   Die Wahrscheinlichkeit lässt sich auch aus dem Baumdiagramm ablesen und es gilt:
   Damit kann bestimmt werden:
   Nun können die Ereignisse auf stochastische Abhängigkeit überprüft werden:
   Die Ereignisse und sind stochastisch abhängig.

   Alternativer Weg
   Wenn die Ereignisse und stochastisch unabhängig sind, dann sind es auch die Ereignisse und und es gilt , denn die Eintrittswahrscheinlichkeit von hängt eben gerade nicht davon ab, ob eintritt oder nicht. In diesem Falle müsste also gelten:

   Aus dem Baumdiagramm kann man ablesen:
   Folglich sind die Ereignisse und stochastisch abhängig.

3. Lediglich der Wert darf geändert werden. Die Wahrscheinlichkeiten

   sowie der in Teilaufgabe b) ermittelte Wert
   bleiben unverändert. Wegen der Unabhängigkeit von und muss gelten:
   Es gilt für die Gegenwahrscheinlichkeit von :
   Sind die Ereignisse und unabhängig, so sind es auch die Ereignisse und . Nun lässt sich das gesuchte Ergebnis berechnen zu:
   Der geänderte Wert lautet .