Abi Bayern 2014 Geometrie A2

Aufgabe

Aufgabe 1

Die Vektoren , und spannen für jeden Wert von mit einen Körper auf. Die Abbildung zeigt den Sachverhalt beispielhaft für einen Wert von .

1. Zeigen Sie, dass die aufgespannten Körper Quader sind.
   (2 BE)
2. Bestimmen Sie diejenigen Werte von , für die der jeweils zugehörige Quader das Volumen besitzt.
   (3 BE)

Aufgabe 2

Eine Kugel besitzt den Mittelpunkt . Der Punkt liegt auf der Kugel.

1. Der Punkt liegt ebenfalls auf der Kugel, die Strecke verläuft durch deren Mittelpunkt. Ermitteln Sie die Koordinaten von .
   (3 BE)
2. Weisen Sie nach, dass die Kugel die -Ebene berührt.
   (2 BE)

Lösung

Lösung zu Aufgabe 1

1. Ein Quader ist ein Spat, der nur rechteckige Seitenflächen hat. Das heißt, alle Kanten sind zueinander senkrecht. Es ist also zu zeigen, dass für alle Zweierkombinationen der drei Vektoren , und gilt, dass diese zueinander senkrecht stehen. Die jeweils anderen Kanten sind zu diesen parallel und bilden dann auch rechte Winkel. Hierzu werden paarweise die Skalarprodukte berechnet.

   Die Vektoren stehen also paarweise unabhängig vom Wert des Parameters senkrecht aufeinander. Es handelt sich also folglich für jeden Wert von um einen Quader.

2. Der Volumeninhalt eines allgemeinen Spats, und somit auch der eines Quaders, lässt sich mit dem sogenannten Spatprodukt berechnen:

   Dabei sind , und drei Kanten des Spates, die nicht parallel stehen dürfen. Es gilt also:
   Der Quader soll das Volumen besitzen. Es muss also gelten:
   Für oder hat der zugehörige Quader das Volumen .

   Alternativer Weg
   Das Volumen eines Quaders kann als Produkt der Kantenlängen berechnet werden. Es gilt also:

   Der Quader soll das Volumen besitzen. Es muss also gelten:
   Für oder hat der zugehörige Quader das Volumen .

Lösung zu Aufgabe 2

1. Die Punkte und liegen auf der Kugeloberfläche und die Strecke verläuft durch den Mittelpunkt der Kugel. Die beiden Punkte und liegen sich auf der Kugeloberfläche genau gegenüber. Es gilt also:

   Der Punkt hat also die Koordinaten .

   Alternativer Weg
   Man kann auch zum Ortsvektor zu zweimal den Vektor addieren:

   Der Punkt hat also die Koordinaten .

2. Zunächst wird der Radius der Kugel bestimmt und dieser anschließend mit dem Abstand des Kugelmittelpunktes zur -Ebene verglichen.

   Radius der Kugel bestimmen

   Der Radius einer Kugel ist die Länge eines Verbindungsvektors vom Mittelpunkt zu einem beliebigen Punkt der Kugeloberfläche, zum Beispiel zum Punkt :

   Der Radius der Kugel ist also .

   Abstand von zur -Ebene

   Eine Koordinatengleichung der -Ebene ist gegeben durch

   Die -Koordinate von ist , und damit sieht man direkt, dass sie von der -Ebene den Abstand 7 hat.

   Alternativer Weg
   Eine Koordinatengleichung der -Ebene ist gegeben durch

   Eine Gleichung der Hilfsgeraden mit Stützpunkt und parallel zum Normalenvektor der -Ebene lautet:
   Der Lotfußpunkt kann dann berechnet werden als Schnittpunkt der Geraden mit der -Ebene:
   Der berechnete Parameter wird nun in die Gleichung der Hilfsgeraden eingesetzt. Es gilt:
   Der Lotfußpunkt ist damit gegeben durch . Der Abstand des Kugelmittelpunktes zur -Ebene ist dann die Länge des Verbindungsvektors , also:
   Der Abstand des Kugelmittelpunktes von der -Ebene beträgt .

   Vergleich von Radius und Abstand

   Radius und Abstand des Mittelpunktes von der Ebene stimmen überein, daher berührt die Ebene die Kugel.