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Aufgabe
Aufgabe 1
Die Abbildung zeigt ein gerades Prisma
Der Punkt
Aufgabe 2
Gegeben ist die Ebene
Lösung
Lösung zu Aufgabe 1
- Aus den bereits angegebenen Punkten sowie durch die Angabe, dass es sich um ein gerades Prisma handelt, lassen die Koordinaten des Punktes
schließen. Der Punkt besitzt die gleichen - und -Koordinaten wie und die gleiche -Koordinate wie . Also: Der Abstand der Punkteund entspricht dann der Länge des Verbindungsvektors: Der Abstand zwischenund beträgt also . - #### Koordinaten der Mittelpunkte
und der Kanten und ] Der Ortsvektor des Mittelpunktes der Strecke kann berechnet werden durch: **Alternativer Weg: **[Alternative 1] Der Ortsvektor des Mittelpunktesder Strecke kann auch berechnet werden, indem man zum Ortsvektor die Hälfte des Verbindungsvektor addiert. Hierbei ist es wichtig, dass dieser die richtige Orientierung aufweist. Es gilt also: Der Ortsvektor des Mittelpunktesder Strecke kann berechnet werden durch: **Alternativer Weg: **[Alternative 2] Der Ortsvektor des Mittelpunktesder Strecke lautet:
Bestimmung von
Gesucht ist der Wert von
Also wird zunächst das Skalarprodukt berechnet:
Lösung zu Aufgabe 2
- Die Ebene
ist echt parallel zur -Achse. Eine Begründung ist zwar nicht erforderlich, soll aber an dieser Stelle trotzdem nicht fehlen. Ein Normalenvektor der Ebene ist gegeben durch: Die-Achse hat die Gleichung: Der Richtungsvektor der-Achse steht senkrecht zum Normalenvektor der Ebene , denn: Somit verlaufen die-Achse und die Ebene parallel. Alle Punkte der -Achse haben die Form . Eine Punktprobe eines beliebigen Punktes der -Achse und der Ebene fällt negativ aus, denn: Somit ist die Ebeneparallel zur -Achse, aber enthält diese nicht. - Um die gegenseitige Lage von Ebene
und Kugel zu überprüfen, muss der Abstand des Kugelmittelpunktes zur Ebene berechnet werden.
Abstand von zur Ebene
Zunächst wird eine Hilfsgerade aufgestellt. Diese hat als Richtungsvektor den Normalenvektor der Ebene
Vergleich von Radius und Abstand
Der Abstand des Mittelpunktes