Abi Bayern 2014 Geometrie A1

Aufgabe

Aufgabe 1

Die Abbildung zeigt ein gerades Prisma mit , , und .

1. Bestimmen Sie den Abstand der Eckpunkte und .

   (2 BE)

2. Die Punkte und sind die Mittelpunkte der Kanten bzw.\ .

   Der Punkt liegt auf der Kante . Bestimmen Sie so, dass das Dreieck in rechtwinklig ist.

   (3 BE)

Aufgabe 2

Gegeben ist die Ebene .

1. Beschreiben Sie die besondere Lage von im Koordinatensystem.
   (1 BE)
2. Untersuchen Sie rechnerisch, ob die Kugel mit Mittelpunkt und Radius die Ebene schneidet.
   (4 BE)

Lösung

Lösung zu Aufgabe 1

1. Aus den bereits angegebenen Punkten sowie durch die Angabe, dass es sich um ein gerades Prisma handelt, lassen die Koordinaten des Punktes schließen. Der Punkt besitzt die gleichen - und -Koordinaten wie und die gleiche -Koordinate wie . Also:

   Der Abstand der Punkte und entspricht dann der Länge des Verbindungsvektors:
   Der Abstand zwischen und beträgt also .

2. Koordinaten der Mittelpunkte und der Kanten und

   Der Ortsvektor des Mittelpunktes der Strecke kann berechnet werden durch:

   Alternativer Weg 1
   Der Ortsvektor des Mittelpunktes der Strecke kann auch berechnet werden, indem man zum Ortsvektor die Hälfte des Verbindungsvektor addiert. Hierbei ist es wichtig, dass dieser die richtige Orientierung aufweist. Es gilt also:

   Der Ortsvektor des Mittelpunktes der Strecke kann berechnet werden durch:

   Alternativer Weg 2 Der Ortsvektor des Mittelpunktes der Strecke lautet:

   Bestimmung von

   Gesucht ist der Wert von , sodass die Vektoren und senkrecht zueinander stehen. Dies ist genau denn der Fall, wenn ihr Skalarprodukt Null ergibt.

   Also wird zunächst das Skalarprodukt berechnet:

   Damit das Dreieck im Punkt rechtwinklig ist, muss gelten:
   Für ist das Dreieck im Punkt rechtwinklig.

Lösung zu Aufgabe 2

1. Die Ebene ist echt parallel zur -Achse. Eine Begründung ist zwar nicht erforderlich, soll aber an dieser Stelle trotzdem nicht fehlen. Ein Normalenvektor der Ebene ist gegeben durch:

   Die -Achse hat die Gleichung:
   Der Richtungsvektor der -Achse steht senkrecht zum Normalenvektor der Ebene , denn:
   Somit verlaufen die -Achse und die Ebene parallel. Alle Punkte der -Achse haben die Form . Eine Punktprobe eines beliebigen Punktes der -Achse und der Ebene fällt negativ aus, denn:
   Somit ist die Ebene parallel zur -Achse, aber enthält diese nicht.

2. Um die gegenseitige Lage von Ebene und Kugel zu überprüfen, muss der Abstand des Kugelmittelpunktes zur Ebene berechnet werden.

   Abstand von zur Ebene

   Zunächst wird eine Hilfsgerade aufgestellt. Diese hat als Richtungsvektor den Normalenvektor der Ebene und als Stützvektor den Ortsvektor zum Mittelpunkt :

   Nun wird der Schnittpunkt der Gerade und der Ebene bestimmt. Hierzu werden die Zeilen der Geradengleichung von in die Koordinatengleichung von eingesetzt:
   Den berechneten Parameter in eingesetzt, liefert den Ortsvektor zum Lotfußpunkt :
   Der Abstand des Kugelmittelpunktes zur Ebene ist dann die Länge des Verbindungsvektors:

   Alternativer Weg
   Um zu bestimmen, setzt man die Koordinaten von in die Hessesche Normalenform der Ebenengleichung ein. Mit

   lautet die Hessesche Normalenform der Ebene :
   Daraus ergibt sich:

   Vergleich von Radius und Abstand

   Der Abstand des Mittelpunktes zur Ebene beträgt , während der Radius der Kugel beträgt. Der Radius der Kugel ist also größer als der Abstand des Kugelmittelpunktes zur Ebene . Somit schneiden sich Kugel und Ebene.