Abi Bayern 2014 Analysis B2

Aufgabe

Gegeben ist die Funktion mit und maximalem Definitionsbereich . Die Abbildung zeigt einen Teil des Graphen von .

Aufgabe 1

1. Zeigen Sie, dass gilt und dass symmetrisch bezüglich des Koordinatenursprungs ist. Geben Sie die Nullstelle von sowie die Glei-chungen der drei Asymptoten von an.

   (5 BE)

2. Weisen Sie nach, dass die Steigung von in jedem Punkt des Graphen negativ ist. Berechnen Sie die Größe des Winkels, unter dem die -Achse schneidet.

   (4 BE)

3. Skizzieren Sie in der Abbildung den darin fehlenden Teil von unter Berücksichtigung der bisherigen Ergebnisse.

   (3 BE)

4. Die Funktion mit Definitionsbereich unterscheidet sich von der Funktion nur hinsichtlich des Definitionsbereichs. Begründen Sie, dass die Funktion nicht umkehrbar ist, die Funktion dagegen schon. Zeichnen Sie den Graphen der Umkehrfunktion von in die Abbildung ein.

   (4 BE)

5. Der Graph von , die -Achse sowie die Geraden mit den Gleichungen und mit schließen ein Flächenstück mit dem Inhalt ein. Bestimmen Sie .

   Ergebnis:

   (5 BE)

6. Ermitteln Sie so, dass das Flächenstück aus Aufgabe 1e den Inhalt besitzt.

   (3 BE)

7. Bestimmen Sie das Verhalten von für .

   (2 BE)

Aufgabe 2

Ein Motorboot fährt mit konstanter Motorleistung auf einem Fluss eine Strecke der Länge zuerst flussabwärts und unmittelbar anschließend flussaufwärts zum Ausgangspunkt zurück. Mit der Eigengeschwindigkeit des Motorboots wird der Betrag der Geschwindigkeit bezeichnet, mit der sich das Boot bei dieser Motorleistung auf einem stehenden Gewässer bewegen würde.
Im Folgenden soll modellhaft davon ausgegangen werden, dass die Eigengeschwindigkeit des Boots während der Fahrt konstant ist und das Wasser im Fluss mit der konstanten Geschwindigkeit fließt. Die für das Wendemanöver erforderliche Zeit wird vernachlässigt.
Die Gesamtfahrtzeit in Stunden, die das Boot für Hinfahrt und Rückfahrt insgesamt benötigt, wird im Modell für durch den Term angegeben. Dabei ist die Eigengeschwindigkeit des Boots in .

1. Bestimmen Sie auf der Grundlage des Modells für eine Fahrt mit einer Eigengeschwindigkeit von und für eine Fahrt mit einer Eigengeschwindigkeit von jeweils die Gesamtfahrtzeit in Minuten.
   (2 BE)
2. Begründen Sie, dass der erste Summand des Terms die für die Hinfahrt, der zweite Summand die für die Rückfahrt erforderliche Zeit in Stunden an"-gibt.
   (3 BE)
3. Begründen Sie im Sachzusammenhang, dass für nicht als Gesamtfahrtzeit interpretiert werden kann.
   (2 BE)
4. Zeigen Sie, dass die Terme und äquivalent sind.
   (2 BE)
5. Beschreiben Sie, wie man mithilfe der Abbildung für eine Fahrt mit einer Gesamtfahrtzeit zwischen zwei und vierzehn Stunden die zugehörige Eigengeschwindigkeit des Boots näherungsweise ermitteln kann. Berechnen Sie auf der Grundlage des Modells die Eigengeschwindigkeit des Boots für eine Fahrt mit einer Gesamtfahrtzeit von vier Stunden.
   (5 BE)

Lösung

Lösung zu Aufgabe 1

1. Definitionsbereich der Funktion

   Für den Definitionsbereich einer gebrochenrationalen Funktion müssen die Definitionslücken gefunden werden, die Nullstellen des Nenners sind:

   Der Definitionsbereich ist wie angegeben .

   Symmetrie des Graphen

   Die Definitionsmenge ist symmetrisch zur Null. Um die Symmetrieeigenschaft des Graphen von festzustellen, setzt man in die Funktionsgleichung ein, und überprüft, ob das Ergebnis nach Termumformung mit oder übereinstimmt: Für alle gilt:

   Somit ist punktsymmetrisch zum Koordinatenursprung.

   Nullstellen von

   Die möglichen Nullstellen einer gebrochenrationalen Funktionen finden sich unter den Nullstellen des Zählers:

   Es gilt , damit ist eine Nullstelle der Funktion .

   Asymptoten des Graphen

   Die Nullstellen des Zähles sind keine Nullstellen des Nenners und umgekehrt. Daher sind die Polstellen gegeben durch und . Dies sind auch die Gleichungen der senkrechten Asymptoten von . Waagrechte oder schiefe Asymptoten einer gebrochenrationalen Funktion ermittelt man, indem man das Verhalten der Funktion im Unendlichen betrachtet. Dazu vergleicht man Zählergrad und Nennergrad der Funktion. Der Zählergrad der Funktion ist kleiner als der Nennergrad. Deshalb gilt:

   Damit ist die -Achse, also die Gerade mit der Gleichung , die waagrechte Asymptote von .

2. Graph stets streng monoton fallend

   Die Steigung des Graphen an der Stelle entspricht dem Wert der 1. Ableitung an dieser Stelle, also . Zu zeigen ist also, dass die Werte der 1. Ableitung stets negativ sind. Zunächst wird also die erste Ableitung mithilfe der Quotientenregel gebildet:

   Es gelten:
   Damit ist der gesamte Bruch für alle negativ. Es gilt also für alle und damit hat der Graph der Funktion in jedem Punkt eine negative Steigung.

   Schnittwinkel mit der -Achse

   Der Graph der Funktion schneidet die -Achse im Koordinatenursprung, denn Punkt war die einzige Nullstelle. Der Winkel zwischen der -Achse und der Tangente an den Graphen von im Koordinatenursprung lässt sich dann mit folgender Formel aus der Merkhilfe berechnen:

   und folglich ist:

3. Zunächst werden alle Asymptoten eingezeichnet. Es gelten:

   Der Graph schmiegt sich also an die -Achse an. Im Intervall fällt der Graph der Funktion monoton und verläuft in diesem Bereich unterhalb der -Achse. Auch im Intervall fällt der Graph der Funktion monoton mit dem Schnittpunkt mit der -Achse. Im Intervall fällt der Graph der Funktion ebenfalls streng monoton. An den Polstellen streben die Funktionswerte gegen beziehungsweise gegen . Auch die Tangente in kann mithilfe der für die Winkelbetrachtung notwendigen Steigung eingetragen werden.
   Somit ergibt sich folgende Abbildung.

4. In der Skizze lässt sich leicht erkennen, dass es für fast alle -Werte, mit Ausnahme von , zwei Stellen gibt, an denen gilt. Damit ist die Funktion nicht umkehrbar, denn für eine umkehrbare Funktion muss gelten, dass die Gleichung für jedes höchstens eine Lösung hat. Für die Funktion trifft das Kriterium jedoch zu. Die Umkehrfunktion erhält man, indem man an der Geraden , also an der ersten Winkelhalbierenden, spiegelt.

   Alternativer Weg
   Wenn der Graph einer Funktion in einem Bereich streng monoton steigend () oder streng monoton fallend () ist, dann ist die Funktion dort umkehrbar. Für mit ist dies der Fall. Auch durch Termumformungen lässt sich mithilfe der Lösungsformel der Funktionsterm der Umkehrfunktion bestimmen:

   für alle

5. Zunächst wird der Sachverhalt in einer Skizze veranschaulicht.

   Der Graph der Funktion verläuft für immer oberhalb der -Achse. Damit kann die gesuchte Fläche in Abhängigkeit von mit dem Integral der Funktion in den Grenzen und berechnet werden:

   Stammfunktion von

   Eine Stammfunktion von ist gegeben durch

   Falls der Faktor aus dem Integral gezogen wird, gilt:
   Hier kann man erkennen, dass im Zähler die Ableitung des Nenners steht. Eine Stammfunktion ist laut Merkhilfe gegeben durch:

   Formel für den Flächeninhalt

   Der Flächeninhalt kann nun wie folgt berechnet werden:

   Wegen kann nun umgeschrieben werden zu:
   
   Um dieses Ergebnis auf das angegebene Kontrollergebnis zu bringen, muss man zunächst den Faktor ausklammern und dann die Rechenregeln für Logarithmen anwenden:

6. Gesucht ist die Lösung der Gleichung , also:

   Somit muss gelten:
   Die Lösung ist kleiner als 10 und somit in diesem Fall nicht relevant. Damit erhält man eine Fläche mit Flächeninhalt für:

7. Gesucht ist der uneigentliche Flächeninhalt, das heißt der Grenzwert der Flächeninhaltsformel für . Es gelten:

   und damit
   Also gilt für den Flächeninhalt
   Das heißt, der Flächeninhalt, den der Graph für mit der -Achse einschließt, wird für unendlich groß.

Lösung zu Aufgabe 2

1. Die Funktion gibt die Gesamtfahrtzeit in Abhängigkeit von der Eigengeschwindigkeit in Stunden an. Für erhält man

   Da der Funktionswert die Fahrtzeit in Stunden angibt, muss dieser Wert noch in Minuten umgerechnet werden:
   Entsprechend erhält man für :
   Umgerechnet in Minuten bedeutet das:
   Mit einer Eigengeschwindigkeit von beträgt die Gesamtfahrtzeit Minuten, bei einer Geschwindigkeit von nur Minuten.

2. Die Geschwindigkeit berechnet sich als Quotient der zurückgelegten Strecke geteilt durch die benötigte Zeit . Es gilt also . Stellt man diese Funktion nach der Zeit um, so erhält man .
   In der Funktionsgleichung für die Funktion werden die Zeiten für Hin- und Rückfahrt addiert. Dies kann man daran erkennen, dass für die zurückgelegte Strecke im Zähler beides Mal die steht. Die Eigengeschwindigkeit wird hier in angegeben und die Zeit in Stunden. Die Strecke ist damit in angegeben. Auf der Hinfahrt wird zur Eigengeschwindigkeit des Bootes die Fließgeschwindigkeit des Flusses addiert, denn sie gibt dem Boot zusätzlichen Antrieb. Damit wird die Zeit für die Hinfahrt, bei der das Boot flussabwärts fährt, durch den ersten Bruch berechnet. Auf der Rückfahrt muss das Boot gegen die Fließgeschwindigkeit arbeiten, die es zurückdrängt und seine Geschwindigkeit dementsprechend verringert. Daher wird wie im zweiten Bruch abgezogen.

3. Ist die Eigengeschwindigkeit des Bootes geringer als die Fließgeschwindigkeit des Wassers, kann es den Weg flussaufwärts nicht meistern und wird weiter zurückgetrieben. Ist sie gleich, bleibt es auf der Stelle. Somit muss bei einer Hin- und Rückfahrt die Eigengeschwindigkeit des Bootes größer als die Fließgeschwindigkeit des Flusses sein, die hier beträgt.

4. Zu zeigen ist, dass die Terme und äquivalent sind. Dafür bringt man die beiden Summanden auf den gleichen Nenner:

5. Es ist nach der Beschreibung eines graphischen Lösungsverfahren gefragt, das heißt, die einzelnen Schritte sollen mit Worten wiedergegeben werden. Dann soll die Eigengeschwindigkeit für eine Fahrtzeit von Stunden berechnet werden.

   Beschreibung des graphischen Lösungsverfahrens

   Der Funktionswert gibt die Fahrtzeit zur zugehörigen Eigengeschwindigkeit an. Zu einer gegebenen Gesamtfahrtzeit, diese entspricht dem -Wert, wird eine zur -Achse parallele Gerade eingezeichnet.
   Der -Wert des Schnittpunktes dieser Geraden mit dem Graphen der Funktion ist dann die gesuchte Eigengeschwindigkeit in .

   Berechnung der Eigengeschwindigkeit bei einer Fahrt

   Die Beschreibung der graphischen Methode liefert auch die rechnerische Methode. Die Funktion gibt die Gesamtfahrtzeit zu einer bestimmten Eigengeschwindigkeit an. Also muss für die Berechnung der Eigengeschwindigkeit für eine Gesamtfahrtzeit von Stunden die Gleichung gelöst werden:

   Da es sich um eine quadratische Gleichung handelt, werden zunächst alle Terme auf eine Seite gebracht:
   Mithilfe der Mitternachtsformel erhält man:
   Das zweite Ergebnis ist kleiner als , liegt also nicht im betrachteten Definitionsbereich. Es macht auch im Sachzusammenhang keinen Sinn, da das Boot nicht rückwärts startet. Somit muss das Boot bei einer Gesamtfahrtzeit von Stunden eine Eigengeschwindigkeit von ungefähr haben.

   Alternativer Weg
   Man kann auch die Gleichung lösen.

   Die Lösung dieser quadratischen Gleichung liefert die Mitternachtsformel:
   Das zweite Ergebnis ist kleiner als , liegt also nicht im betrachteten Definitionsbereich. Es macht auch im Sachzusammenhang keinen Sinn, da das Boot nicht rückwärts startet. Somit muss das Boot bei einer Gesamtfahrtzeit von Stunden eine Eigengeschwindigkeit von ungefähr haben.