Abi Bayern 2014 Analysis B1

Aufgabe

Gegeben ist die Funktion mit maximaler Definitionsmenge . Der Graph von wird mit bezeichnet.

Aufgabe 1

1. Berechnen Sie die Koordinaten der Schnittpunkte von mit den Koordinatenachsen. Bestimmen Sie das Verhalten von für und geben Sie an.
   (5 BE)
2. Bestimmen Sie den Term der Ableitungsfunktion von und geben Sie die maximale Definitionsmenge von an.
   Bestimmen Sie und beschreiben Sie, welche Eigenschaft von aus diesem Ergebnis folgt.
   zur Kontrolle:
   (5 BE)
3. Geben Sie das Monotonieverhalten von und die Wertemenge von an.
   (2 BE)
4. Geben Sie an und zeichnen Sie unter Berücksichtigung der bisherigen Ergebnisse in ein Koordinatensystem ein (Platzbedarf im Hinblick auf die folgenden Aufgaben: ).
   (3 BE)
5. Die Funktion ist in umkehrbar. Geben Sie die Definitionsmenge der Umkehrfunktion von an und zeigen Sie, dass gilt.
   (4 BE)

Der Graph der in definierten Funktion ist die Parabel . Der Graph der in Aufgabe 1e betrachteten Umkehrfunktion ist ein Teil dieser Parabel.

Aufgabe 2

1. Berechnen Sie die Koordinaten der Schnittpunkte von mit der durch die Gleichung gegebenen Winkelhalbierenden des . und . Quadranten.
   Teilergebnis: -Koordinaten der Schnittpunkte: und
   (3 BE)
2. Zeichnen Sie die Parabel – unter Berücksichtigung des Scheitels – im Bereich in Ihre Zeichnung aus Aufgabe 1d ein. Spiegelt man diesen Teil von an der Winkelhalbierenden , so entsteht eine herzförmige Figur; ergänzen Sie Ihre Zeichnung dementsprechend.
   (4 BE)

Aufgabe 3

Durch die in Aufgabe 2 entstandene herzförmige Figur soll das abgebildete Blatt modellhaft beschrieben werden. Eine Längeneinheit im Koordinatensystem aus Aufgabe 1d soll dabei in der Wirklichkeit entsprechen.

1. Berechnen Sie den Inhalt des von und der Winkelhalbierenden eingeschlossenen Flächenstücks. Bestimmen Sie unter Verwendung dieses Werts den Flächeninhalt des Blatts auf der Grundlage des Modells.
   (5 BE)
2. Ermitteln Sie die Gleichung der Tangente an im Punkt .
   Berechnen Sie den Wert, den das Modell für die Größe des Winkels liefert, den die Blattränder an der Blattspitze einschließen.
   (6 BE)
3. Der Verlauf des oberen Blattrands wird in der Nähe der Blattspitze durch das bisher verwendete Modell nicht genau genug dargestellt. Daher soll der obere Blattrand im Modell für nicht mehr durch , sondern durch den Graphen einer in definierten ganzrationalen Funktion dritten Grades beschrieben werden. Für die Funktion werden die folgenden Bedingungen gewählt ( und sind die Ableitungsfunktionen von bzw. ):
   Begründen Sie im Sachzusammenhang, dass die Wahl der Bedingungen , und sinnvoll ist. Machen Sie plausibel, dass die Bedingung dazu führt, dass die Form des Blatts in der Nähe der Blattspitze im Vergleich zum ursprünglichen Modell genauer dargestellt wird.
   (3 BE)

Lösung

Lösung zu Aufgabe 1

1. Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen

   Sowohl die Nullstellen für die Schnittpunkte mit der -Achse als auch der Schnittpunkt mit der -Achse sind gesucht. Für den Schnittpunkt mit der -Achse setzt man ein:

   Der Schnittpunkt mit der -Achse ist . Die Nullstellen von sind die Lösungen der Gleichung :
   Beide Seiten werden quadriert und man erhält:
   Weil beide Seiten quadriert wurden, und deshalb die Lösungsmenge zu Unrecht vergrößert sein könnte, muss hier eine Probe gemacht werden. Es gilt:
   Somit ist der Schnittpunkt mit der -Achse .

   Verhalten für

   Es gilt:

   Für die Funktion gilt damit:

   Funktionswert

   Es gilt:

2. Term der Ableitungsfunktion

   Der Funktionsterm von kann umgeschrieben werden als:

   Damit kann die Ableitung der Funktion berechnet werden:
   Um auf das Vergleichsergebnis zu kommen, ist noch eine weitere Umformung nötig:

   Definitionsbereich von

   Um den Definitionsbereich der Ableitungsfunktion bestimmen, müssen die Nullstellen des Nenners ermittelt werden:

   Eine Wurzel ist genau dann Null, wenn der Term unter der Wurzel, der Radikand, Null ist. Zudem dürfen unter einer Wurzel keine negativen Zahlen stehen. Demnach gilt:
   Der Definitionsbereich von ist somit .

   Bestimmung des Grenzwertes von für

   Gesucht ist der folgende Grenzwert:

   Eine Untersuchung des Nenners liefert:
   Andererseits gilt stets:
   Somit gilt:
   Da die Steigung des Graphen der Funktion an der Stelle angibt und diese für und ins Unendliche steigt, wird der Graph von für immer stärker steigen, also immer steiler.

3. Monotonieverhalten

   Das Monotonieverhalten einer Funktion kann sich nur an Definitionslücken oder Extremstellen ändern. In dem angegebenem Definitionsbereich hat keine Definitionslücken. Da die Ableitungsfunktion keine Nullstellen hat, gibt es auch keine Extremstellen. Damit ist das Monotonieverhalten der Funktion auf dem gesamten Definitionsbereich gleich. Nun betrachtet man . Sowohl Zähler als auch Nenner sind stets positiv. Damit ist der Graph von im gesamten Definitionsbereich streng monoton steigend.

   Wertemenge von

   Gesucht sind alle Werte, welche die Funktion annehmen kann. Aus den vorigen Teilaufgaben ist bekannt, dass für die Funktion gilt:

   Außerdem ist der Graph monoton steigend. An der oberen Grenze des Definitionsbereichs, bei ist der Funktionswert . Damit ist die Wertemenge von gegeben durch \mbox{}.

4. Es gilt:

   Damit kann nun der Graph der Funktion skizziert werden.

5. Definitionsmenge der Funktion

   Die Definitionsmenge der Umkehrfunktion ist die Wertemenge der Ausgangsfunktion. Somit ist .

   Funktionsgleichung der Umkehrfunktion

   Für die Bestimmung der Funktionsgleichung der Umkehrfunktion vertauscht man in der Ausgangsfunktion und und löst wieder nach auf. Alle Umformungen gelten für

   Damit ist , für .

Lösung zu Aufgabe 2

Ab hier wird die Funktion betrachtet.

1. Die Schnittstelle zweier Funktionsgraphen berechnet man, indem man die Terme der beiden Funktionen gleichsetzt und die Gleichung nach auflöst:

   Mithilfe der Mitternachtsformel erhält man:
   Die Schnittpunkte liegen auf der ersten Winkelhalbierenden. Damit sind die Schnittpunkte gegeben durch und .

2. Der Aufgabenstellung ist zu entnehmen, dass zunächst der Scheitelpunkt zu bestimmen ist. Der Scheitelpunkt einer Parabel ist der Extrempunkt. Man findet ihn daher, indem man die Nullstellen der ersten Ableitung bestimmt:

   Mithilfe der zweiten Ableitung wird überprüft, ob es sich um einen Hochpunkt oder einen Tiefpunkt handelt.
   Es handelt sich um einen Hochpunkt. Berechnung des -Wertes liefert:
   Der Scheitelpunkt der Parabel ist der Hochpunkt .

   Alternativer Weg
   Man kann die Funktionsgleichung durch Ausklammern und mit quadratischer Ergänzung beziehungsweise den binomischen Formeln auf die Scheitelpunktform bringen.

   Der Faktor vor ist negativ, die Parabel ist somit nach unten geöffnet und der Scheitelpunkt ein Hochpunkt. Die Koordinaten lassen sich direkt ablesen: .

   Damit lässt sich die Funktion ins Koordinatensystem einzeichnen:

Lösung zu Aufgabe 3

1. Der Flächeninhalt zwischen dem Graphen der Funktion und der Winkelhalbierenden lässt sich berechnen, indem man von dem Funktionsterm den Funktionsterm der Winkelhalbierenden abzieht und über diese Differenzfunktion das Integral bildet. Die Grenzen sind dabei die in Aufgabe 2 a) berechneten Schnittstellen:

   Durch die Spiegelung an der Winkelhalbierenden ist das Blatt symmetrisch, das heißt man muss nur den Flächeninhalt einer Blatthälfte bestimmen und diesen dann verdoppeln:
   Da eine Längeneinheit einem Zentimeter entspricht, ist eine Flächeneinheit ein Quadratzentimeter. Damit hat das Blatt eine Fläche von .

2. Tangentengleichung im Punkt

   Die allgemeine Geradengleichung lautet:

   Die Steigung der Tangente im Punkt ist gegeben durch den Wert der Ableitung an dieser Stelle, also . Es gilt:
   Die Tangente an den Graphen der Funktion hat also die Gleichung:
   Nun wird noch der -Achsenabschnitt bestimmt. Hierzu führt man eine Punktprobe mit dem Punkt durch, denn die Tangente in diesem Punkt muss den Punkt selbst auch enthalten. Es gilt:
   Somit kann bestimmt werden:
   Die Gleichung der Tangente an den Graphen der Funktion im Punkt lautet:

   Alternativer Weg
   Es gibt auch eine Formel für die Bestimmung der Tangentengleichung. Für die Tangente im Punkt ist eine Tangentengleichung gegeben durch:

   Also:

   Bestimmung des Winkels an der Blattspitze

   Auch hier lässt sich die Symmetrieeigenschaft des Blattes ausnutzen. Die erste Winkelhalbierende teilt den Winkel in zwei gleich große Winkel. Man berechnet zunächst den Winkel zwischen der Tangente an an der Stelle und der -Achse. Von diesem zieht man den Winkel zwischen erster Winkelhalbierender und -Achse, also ${{/latex}}, ab. Die Tangente im Punkt hat die Gleichung , also . Für den Winkel, den die Tangente mit der -Achse einschließt, gilt:

   Der Winkel ist also gegeben durch:
   Der Winkel an der Blattspitze beträgt somit = .

3. Die ersten beiden Bedingungen stellen sicher, dass die Funktion an der Stelle stetig und differenzierbar an die Funktion angeschlossen wird. Sie gehen nahtlos ineinander über und haben an der Stelle dieselbe Steigung. Das sorgt im Modell dafür, dass der obere Blattrand "glatt"verläuft. Die dritte Gleichung sorgt dafür, dass die Blattspitze immer noch an der gleichen Stelle liegt. Die vierte Bedingung sorgt dafür, dass die Blattspitze genauer dargestellt wird, denn es gilt:

   Das heißt:
   und der Winkel an der Blattspitze beträgt ungefähr . Der Graph verläuft also an dieser Stelle flacher als der Graph . Er verläuft damit näher an der Winkelhalbierenden, was der konkaven Form der oberen Blattspitze in der Abbildung eher entspricht.