Abi Baden-Württemberg Probeabitur Wahlteil C1

Aufgabe

Bei einer Tombola steht das folgende Glücksrad:

1. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeiten der folgenden Ereignisse:

   "Man erhält genau dreimal eine 3."
   "Man erhält mindestens dreimal eine 3."

   (2 VP)

Daneben liegt ein großer Laplace-Würfel, der die Augenzahlen besitzt. Es wird folgendes Spiel durchgeführt: Maria dreht das Glücksrad und Knut wirft den Laplace-Würfel. Es gewinnt die größere erreichte Zahl.

2. Maria erklärt: "Weil die Erwartungswerte für die erdrehte und die gewürfelte Zahl gleich sind, ist das Spiel fair."
3. Zeigen und begründen Sie, dass die Erwartungswerte zwar übereinstimmen, das Spiel aber trotzdem nicht fair ist.
   (4 VP)
4. Berechnen Sie die Standardabweichungen für das Drehen des Glücksrades und den Würfelwurf.
   (2 VP)
5. Geben Sie eine Beschriftung des Laplace-Würfels so an, dass das Spiel fair wird. Ändern Sie dabei nur eine einzige Augenzahl.
   (2 VP)

Lösung

Die Größe des Winkels im Segment ist laut Abbildung . Die Wahrscheinlichkeiten für das Drehen der Zahlen und sind somit:

1. Wahrscheinlichkeit für das Ereignis

   Das Experiment kann als ein Bernoulli-Experiment aufgefasst werden. Es gibt zwei mögliche Ausgänge, welche in jedem Versuch unveränderte Wahrscheinlichkeiten haben. Damit gilt für das Ereignis :

   Wahrscheinlichkeit für das Ereignis

   Das Ereignis hat folgendes Gegenereignis . Die Wahrscheinlichkeit kann damit berechnet werden als:

2. Die Wahrscheinlichkeiten für die möglichen Ergebnisse des Laplace-Würfels sind

   Der Erwartungswert für die gewürfelte Zahl ist damit gegeben durch:
   Der Erwartungswert für die erdrehte Zahl des Glücksrades wurde im vorigen Aufgabenteil bestimmt und es gilt:
   Die Erwartungswerte stimmen somit überein. Ein Spiel ist dann fair, wenn die Wahrscheinlichkeit zu gewinnen gleich groß ist wie die Wahrscheinlichkeit zu verlieren. Das wird in der nachfolgenden Tabelle überprüft, dabei steht für Marie und für Knut. Das Ergebnis enthält an erster Stelle die von Marie erdrehte Zahl und an zweiter Stelle die von Knut gewürfelte Zahl .
   Die Gewinnwahrscheinlichkeit für Marie ist gleichzeitig die Verlustwahrscheinlichkeit für Knut und beträgt
   Folglich gilt für Maries Verlustwahrscheinlichkeit und Knuts Gewinnwahrscheinlichkeit
   Da gilt, ist das Spiel unfair.
   Alternativ hätte man das Ergebnis auch über ein Baumdiagramm berechnen können.

3. Standardabweichung für die erdrehte Zahl des Glücksrads

   Der Erwartungswert für die erdrehte Zahl des Glücksrades wurde im vorangegangenen Aufgabenteil berechnet und es gilt . Die Varianz der erdrehten Zahl kann wie folgt berechnet werden:

   und somit gilt für die Standardabweichung der mit dem Glücksrad erdrehten Zahl

   Standardabweichung für die erwürfelte Zahl

   Der Erwartungswert für die erwürfelte Zahl wurde im vorangegangenen Aufgabenteil berechnet und es gilt . Die Varianz der erdrehten Zahl kann wie folgt berechnet werden:

   und somit gilt für die Standardabweichung der erwürfelten Zahl

4. Damit das Spiel fair wird, ersetzt man die durch eine und erhält einen Würfel mit den Augenzahlen

   Die Wahrscheinlichkeit eine zu würfeln beträgt , genauso wie die Wahrscheinlichkeit, eine zu würfeln. Würfelt Knut eine , so verliert er sicher, unabhängig davon, welche Zahl Marie erdreht. Würfelt er eine , so gewinnt er sicher. Die Wahrscheinlichkeit, dass Knut gewinnt ist also genauso groß wie die Wahrscheinlichkeit, dass er verliert. Somit ist das Spiel mit dieser Würfelbeschriftung fair.