Abi Baden-Württemberg Probeabitur Wahlteil A2

Aufgabe

Aufgabe 1

Um Hufeisen zu schmieden, wird in einer Esse ein Stück Stahl auf 950 Grad Celsius erhitzt. Die momentane Änderungsrate der Temperatur des Stahlstückes nach dem Herausziehen aus der Esse wird in den ersten Minuten beschrieben durch den Funktionsterm:

1. Wie schnell kühlt das Stück Stahl eine Minute nach dem Herausziehen aus der Esse ab? Wie ist die durchschnittliche Abkühlgeschwindigkeit in den ersten Minuten? Wann beträgt die Abkühlgeschwindigkeit ?
   (5 VP)
2. Zeichnen Sie den Graphen von im angegebenen Zeitraum.
   (2 VP)
3. Wann kühlt das Stück Stahl am schnellsten ab? Wann am langsamsten?
   (3 VP)
4. Bestimmen Sie einen integralfreien Funktionsterm, der die Temperatur des Stahlstückes zum Zeitpunkt beschreibt. Ab einer Temperatur von kann der Hufschmied das Eisen nicht mehr formen. Wie lange hat er Zeit, um aus dem Stahlstück das Hufeisen zu machen? Wie ist die Raumtemperatur im Schmiederaum?
   (4 VP)
5. Bestimmen Sie einen Funktionsterm mithilfe einer Sinusfunktion, sodass
   gilt.
   (2 VP)

Aufgabe 2

Ein weiteres Stahlstück wird in derselben Esse auf 950 Grad Celsius erhitzt und anschließend herausgenommen. Nach Minuten außerhalb der Esse taucht der Schmied dieses, dann circa heiße Hufeisen, in ein Wasserbad, damit es schneller abkühlt. Das Wasserbad bewirkt, dass die Temperatur des Hufeisens ab diesem Zeitpunkt linear mit einer Abkühlgeschwindigkeit von 50 Grad Celsius pro Minute abnimmt.

1. Bestimmen Sie einen Funktionsterm, der die Temperatur ab diesem Zeitpunkt beschreibt. Wann hat das Hufeisen die Temperatur 30 Grad Celsius?
   (2 VP)
2. Wie ist die durchschnittliche Abkühlgeschwindigkeit während des gesamten Prozesses vom Herausziehen aus der Esse bis zu den im Wasserbad erreichten 30 Grad Celsius?
   (2 VP)

Lösung

Lösung zu Aufgabe 1

1. Die Funktion beschreibt die Änderungsrate der Temperatur des Stahlstückes.

   Abkühlgeschwindigkeit nach einer Minute

   Um zu bestimmen, wie schnell das Stahlstück nach einer Minute abkühlt, genügt es also den Funktionswert der Funktion an der Stelle zu berechnen. Es gilt:

   Das Hufeisen kühlt eine Minute nach dem Herausziehen aus der Esse mit einer Geschwindigkeit von ungefähr ab.

   Durchschnittliche Abkühlgeschwindigkeit in den ersten 20 Minuten

   Zunächst wird bestimmt, wie stark das Stahlstück in den ersten 20 Minuten abkühlt. Die Funktion beschreibt die Änderungsrate der Temperatur. Die Temperaturdifferenz des Stahlstückes in den ersten Minuten ist dann gegeben durch:

   Das Hufeisen kühlt in den ersten 20 Minuten nach dem Herausziehen aus der Esse ungefähr ab. Die durchschnittliche Abkühlgeschwindigkeit in den ersten 20 Minuten ist damit gegeben durch:
   Das Hufeisen kühlt also in den ersten 20 Minuten um durchschnittlich ungefähr ab.

   Zeitpunkt, an dem das Stahlstück mit abkühlt

   Die Funktion beschreibt die Abkühlgeschwindigkeit des Stahlstückes. Gesucht sind daher die Lösungen der Gleichung

   Die Funktion beschreibt die Änderungsrate der Temperatur in den ersten 40 Minuten, es muss daher gelten
   und die Lösung der Gleichung ist damit gegeben durch:
   Das Stahlstück kühlt also ungefähr nach Herausziehen aus der Esse mit einer Geschwindigkeit von ab.

2. Im folgenden Schaubild ist der Graph von im angegebenen Zeitraum dargestellt.
   

3. Um zu bestimmen, wann der Stahl am schnellsten beziehungsweise am langsamsten abkühlt, werden die Extrempunkte des Graphen von bestimmt.

   Ableitungen von

   Es gelten:

   Extrempunkte

   Die Nullstellen der ersten Ableitung werden bestimmt. Es gilt:

   Diese Gleichung hat im Bereich genau eine Lösung:
   Es gilt:
   Der Graph der Funktion hat damit an der Stelle ein Minimum:
   Die Temperaturdifferenz ist damit zu diesem Zeitpunkt am größten und das Stahlstück kühlt zum Zeitpunkt des Herausziehens aus der Esse am schnellsten ab.
   Nun ist noch der Zeitpunkt gesucht, an dem das Stahlstück am langsamsten abkühlt. Einen weiteren Extrempunkt hat der Graph im Bereich nicht mehr. Der Graph ist monoton steigend. Damit kühlt das Stahlstück mit voranschreitender Zeit immer langsamer ab und der Zeitpunkt, an dem das Stahlstück am langsamsten abkühlt, ist gegeben durch:
   Hier gilt:
   Das Stahlstück kühlt also zum Zeitpunkt des Herausziehens aus der Esse am schnellsten ab, und zwar ungefähr . Genau 40 Minuten später kühlt es am langsamsten ab, genauer gesagt gar nicht mehr, also um .

4. Funktionsterm für die Temperatur

   Die Funktion beschreibt also die Änderungsrate der Temperatur des Stahlstückes. Somit kann die Temperatur des Stahlstückes zum Zeitpunkt durch eine Stammfunktion von beschrieben werden. Zunächst wird eine Stammfunktion von bestimmt. Es gilt:

   Es gibt also eine Konstante , sodass für die Temperatur des Stahlstückes zum Zeitpunkt gilt:
   Zum Zeitpunkt des Herausziehens aus der Esse, also bei , hat das Stahlstück eine Temperatur von . Es gilt also:
   Die Temperatur des Stahlstückes kann also beschrieben werden durch die Funktion:

   Zeitraum, den der Schmied für das Formen zur Verfügung hat

   Gesucht sind die Lösungen der Gleichung

   
   Die Lösung dieser Gleichung im Bereich ist gegeben durch:
   Der Schmied hat also in etwa 5 Minuten und 35 Sekunden Zeit, das Eisen zu formen.

   Bestimmung der Raumtemperatur

   Dem Aufgabentext kann entnommen werden, dass das Stahlstück 40 Minuten nach dem Herausziehen aus der Esse Umgebungstemperatur angenommen hat. Es gilt:

   Die Raumtemperatur des Schmiederaumes beträgt damit .

5. Gesucht ist eine Sinusfunktion , sodass gilt:
   

   Für die Funktion gilt:
   Die Funktion ist eine Cosinusfunktion mit folgenden Eigenschaften:
   • Amplitude ,
   • Periodenlänge ,
   • Phasenverschiebung auf der -Achse: ,
   • Verschiebung in -Richtung: .

   Für eine Sinusfunktion mit muss ebenfalls gelten:

   • Amplitude ,

   • Periodenlänge ,

   • Verschiebung in -Richtung: .
     Für die Funktion gilt also

   Der Graph der Funktion hat an der Stelle einen Tiefpunkt. Der Graph von muss daher an dieser Stelle auch einen Tiefpunkt haben. Die Phasenverschiebung auf der -Achse muss damit sein. Also ist die Funktion mit

   eine Sinusfunktion, für die gilt:

   Alternativer Weg
   Die Phasenverschiebung auf der -Achse muss damit sein. Also ist die Funktion mit

   eine Sinusfunktion, für die gilt:

Lösung zu Aufgabe 2

1. Funktionsterm der Temperatur des Hufeisens im Wasserbad

   Das Hufeisen wird 10 Minuten nach Herausnehmen aus der Esse in ein Wasserbad getaucht und seine Temperatur nimmt ab diesem Zeitpunkt um ab. Zum Zeitpunkt des Eintauchens in das Wasserbad hat das Hufeisen eine Temperatur von . Für die Funktion , welche die Temperatur des Hufeisens in nach Eintauchen in das Wasserbad beschreibt, müssen damit folgende Bedingungen erfüllt sein:

   Die Funktion ist nach Aufgabenstellung eine lineare Funktion. Ein Ansatz für eine Funktionsgleichung von ist gegeben durch:
   Mit den obigen Bedingungen kann nun der Funktionsterm für bestimmt werden und es gilt:

   Zeitpunkt, an welchem das Hufeisen eine Temperatur von hat

   Gesucht ist die Lösung der folgenden Gleichung:

   Nach dem Eintauchen in das Wasserbad dauert es 11 Minuten und 24 Sekunden bis das Hufeisen eine Temperatur von besitzt.

2. Temperaturdifferenz

   Das Eisen hat direkt nach dem Herausziehen aus der Esse eine Temperatur von . Am Ende des Abkühlvorganges hat es eine Temperatur von . Insgesamt ist die Temperaturdifferenz gegeben durch:

   Zeitbedarf

   Außerhalb der Esse und außerhalb des Wasserbades kühlt das Eisen lang ab. Im Wasserbad benötigt das Eisen um auf eine Temperatur von abzukühlen. Dies entspricht einer Gesamtzeit von .

   Durchschnittliche Abkühlgeschwindigkeit

   Damit kann die durchschnittliche Abkühlgeschwindigkeit bestimmt werden:

   Das Eisen kühlt mit einer durchschnittlichen Geschwindigkeit von ungefähr ab.