Abi Baden-Württemberg Probeabitur Pflichtteil

Aufgabe

Aufgabe 1

Bilden Sie die erste Ableitung der Funktion mit .

Aufgabe 2

Gegeben ist die Funktion mit .

Bestimmen Sie diejenige Stammfunktion von mit .

Aufgabe 3

Lösen Sie die Gleichung .

Aufgabe 4

Die Abbildung zeigt den Graphen einer Funktion .

(1) besitzt mindestens zwei Nullstellen.
(2) Die Abbildung deutet darauf hin, dass es sich um den Graphen einer ganzrationalen Funktion handelt.
(3) besitzt genau einen Wendepunkt.
(4)
(5) Jeder Graph einer Stammfunktion von besitzt in einen Tiefpunkt.

Aufgabe 5

Gegeben sind die Ebene und die Gerade mit

1. Stellen Sie die Ebene in einem Koordinatensystem dar.
2. Eine Ebene soll den Punkt enthalten und orthogonal zu sein. Bestimmen Sie eine mögliche Ebenengleichung einer Ebene , die diese Bedingungen erfüllt.
3. Bestimmen Sie den Schnittpunkt der Geraden mit der Ebene .

Aufgabe 6

Gegeben sind die Geraden und :

1. Zeigen Sie, dass der Punkt auf der Gerade , aber nicht auf der Geraden liegt.
2. Bestimmen Sie die Lagebeziehung von und .
3. Geben Sie die Gleichung einer dritten Gerade an, die mit und jeweils einen gemeinsamen Schnittpunkt hat.

Aufgabe 7

In einer Urne befinden sich acht Kugeln. Drei Kugeln sind mit der Zahl gekennzeichnet, zwei mit der Zahl und drei mit der Zahl .

1. Es wird dreimal ohne Zurücklegen eine Kugel gezogen und die Ereignisse und betrachtet:

   • Es werden drei gleiche Zahlen gezogen.
   • Es werden drei unterschiedliche Zahlen gezogen.

   Bestimmen Sie und .

2. Nun wird aus derselben Urne achtmal mit Zurücklegen gezogen. Formulieren Sie ein Ereignis , für das gilt:

Lösung

Lösung zu Aufgabe 1

Bei der Funktion handelt es sich um das Produkt der Funktionen und . Dieses lässt sich mithilfe der Produktregel ableiten:

Lösung zu Aufgabe 2

Es liegt eine Funktion vor, die durch lineare Verkettung aus der Sinusfunktion entsteht. Im Allgemeinen gilt für die Stammfunktion einer linearen Verkettung einer Funktion , von der eine Stammfunktion bekannt ist:

Somit gilt

Lösung zu Aufgabe 3

Laut dem Satz vom Nullprodukt ist ein Produkt genau dann Null, wenn mindestens einer der Faktoren Null ist, und damit

Für den zweiten Faktor lautet die Gleichung:

Alternativer Weg
Durch Ausklammern und Anwenden der dritten binomischen Formel erhält man eine Faktorzerlegung, aus der sich die Nullstellen direkt ablesen lassen:

Lösung zu Aufgabe 4

(1) Die Aussage ist wahr.

Der Graph der Funktion hat innerhalb des abgebildeten Bereiches einen Hochpunkt und einen Tiefpunkt. An diesen Extremstellen befindet sich jeweils eine Nullstelle der ersten Ableitung.

(2) Die Aussage ist falsch.

Die Abbildung deutet darauf hin, dass der Graph von eine waagerechte Asymptote bei besitzt. Dies bedeutet

(3) Die Aussage ist falsch.

Die Funktion hat zwischen den Extremstellen eine Wendestelle, aber auch zwischen und dem Maximum sowie zwischen dem Minimum und noch jeweils mindestens eine. Somit hat der Graph der Funktion mehr als einen Wendepunkt.

(4) Die Aussage ist wahr.

Der Graph der Funktion ist offenbar punktsymmetrisch. Damit ist die Fläche zwischen dem Graphen der Funktion und der -Achse im Intervall von bis genauso groß wie diese Fläche zwischen Graph und -Achse im Intervall von bis . Erstere fließt positiv in das Integral ein, letztere negativ. Damit gilt:

(5) Die Aussage ist falsch.

Die Funktion besitzt in eine Nullstelle mit Vorzeichenwechsel von nach . Folglich haben die Graphen aller Stammfunktionen von dort einen Hochpunkt.

Lösung zu Aufgabe 5

1. Um die Ebene in ein Koordinatensystem einzuzeichnen werden die Spurpunkte berechnet. Für diese ergeben sich die Gleichungen:
   Mithilfe der Punkte , und kann nun die Ebene in ein Koordinatensystem eingezeichnet werden:

2. Damit senkrecht auf steht, muss der Normalenvektor von senkrecht zu dem Normalenvektor von sein. Ein Normalenvektor von ist

   Zwei Vektoren stehen genau dann senkrecht aufeinander, wenn ihr Skalarprodukt gleich ist. Es muss also gelten:
   Das ist zum Beispiel für den folgenden Vektor der Fall:
   Ein Ansatz für die Koordinatengleichung einer Ebene mit diesem Normalenvektor ist nun:
   Damit der Punkt auf dieser Ebene liegt, muss nun gelten:
   Eine mögliche Ebenengleichung für eine Ebene, die den Punkt enthält und senkrecht auf steht, ist also

   Alternativer Weg
   Auch der Vektor

   steht senkrecht auf dem Normalenvektor der Ebene . Ein Ansatz für die Koordinatengleichung einer Ebene mit diesem Normalenvektor ist nun:
   Damit der Punkt auf dieser Ebene liegt, muss nun gelten:
   Eine mögliche Ebenengleichung für eine Ebene, die den Punkt enthält und senkrecht auf steht, ist also

3. Um den Schnittpunkt der Ebene mit der Gerade zu bestimmen, werden die Zeilen der Geradengleichung in die Ebenengleichung eingesetzt:

   Nun wird der berechnete Parameter in die Geradengleichung eingesetzt. Dies liefert die Koordinaten des Schnittpunktes .

Lösung zu Aufgabe 6

1. Der Punkt ist der Aufpunkt der Geraden und liegt somit auf . Nun wird überprüft, ob der Punkt auf der Geraden liegt. Dies ist der Fall, wenn es ein gibt, sodass folgende Bedingung erfüllt ist:

   Für die erste Komponente gilt:
   und für die zweite Komponente:
   Dies führt zu einem Widerspruch und damit liegt der Punkt nicht auf der Geraden .

2. Zunächst wird überprüft, ob die Geraden parallel oder identisch sind. Dies ist der Fall, wenn der Richtungsvektor der Geraden ein Vielfaches des Richtungsvektors der Geraden ist. Es ist also zu untersuchen, ob es eine Zahl gibt, sodass gilt:

   Dann müssten die jeweilige Koordinaten auf beiden Seiten übereinstimmen, es müsste also gelten:
   Das ist ein Widerspruch. Somit sind die beiden Geraden nicht parallel und damit auch nicht identisch.

   Es bleibt zu überprüfen, ob sich die Geraden schneiden. Das ist genau dann der Fall, wenn die folgende Gleichung genau eine Lösung hat:

   Hierzu müssen alle drei Koordinaten auf beiden Seiten übereinstimmen, sodass man drei Gleichungen mit zwei Unbekannten erhält:
   Nun kann man mittels Additionsverfahren die Variable aus den anderen beiden Gleichungen eliminieren und erhält:
   Da sich die entstehenden Gleichungen widersprechen, gibt es keinen gemeinsamen Punkt der Geraden und .

   Zwei Geraden, die keinen gemeinsamen Punkt haben, aber auch nicht parallel sind, heißen windschief. Somit sind die Geraden und windschief zueinander.

   Alternativer Weg
   Zwei Geraden sind genau dann windschief zueinander, wenn ihre Richtungsvektoren linear unabhängig sind und in zwei verschiedenen parallelen Ebenen liegen. Der Normalenvektor dieser Ebenen muss dann senkrecht auf beiden Spannvektoren stehen, man erhält ihn zum Beispiel als Kreuzprodukt der beiden Spannvektoren.
   Das Kreuzprodukt der Spannvektoren der Geraden lautet:

   Da dieses insbesondere ungleich dem Nullvektor ist, sind die Richtungsvektoren der Geraden und linear unabhängig. Die Geraden und liegen nun also jeweils innerhalb einer Ebene mit einer Ebenengleichung der Form
   Einsetzen der Stützvektoren ergibt, dass in der Ebene
   und in der Ebene
   liegt. Da und verschieden und parallel und die Richtungsvektoren von und linear unabhängig sind, sind die Geraden und windschief zueinander.

3. Eine beliebige Gerade durch einen Punkt auf und einen Punkt auf erfüllt die Bedingung, dass sie mit beiden Geraden einen gemeinsamen Punkt hat. Da und keine gemeinsamen Punkte haben, ist dann auch zu keiner dieser Geraden identisch und schneidet sie daher jeweils in genau einem Punkt.
   Man kann nun zum Beispiel die Stützvektoren und aus den Geradengleichungen von und nehmen und erhält die Geradengleichung:

Lösung zu Aufgabe 7

1. Ziehung dreier Kugeln ohne Zurücklegen

   Es gibt insgesamt

   Möglichkeiten, drei von acht Kugeln auszuwählen.

   Ziehung dreier Kugeln mit gleicher Zahl

   Da nur zwei Kugeln mit der Zahl gekennzeichnet sind, können nicht alle drei ohne Zurücklegen gezogenen Kugeln die Nummer haben. Somit tritt das Ereignis nur ein, wenn alle drei Kugeln die Nummer oder die Nummer haben.

   Da jeweils nur drei Kugeln mit der Zahl gekennzeichnet sind, hat nur bei einer einzigen Kombination aus drei Kugeln jede die Nummer . Das gleiche gilt für die Zahl .
   Es gibt also genau zwei Kombinationen der Kugeln aus dem Gefäß, bei denen das Ereignis eintritt. Damit lautet dessen Wahrscheinlichkeit:

   Ziehung dreier Kugeln mit unterschiedlichen Zahlen

   Damit die drei Kugeln alle eine unterschiedliche Zahl haben, muss jede Zahl genau einmal vorkommen. Nun gibt es drei Möglichkeiten für die Kugel mit der , zwei Möglichkeiten für die Kugel mit der und drei Möglichkeiten für die Kugel mit der und somit insgesamt Möglichkeiten drei Kugeln mit unterschiedlichen Nummern auszuwählen. Also tritt bei der möglichen Kombinationen aus drei Kugeln das Ereignis ein, sodass gilt:

2. Gesucht ist ein Ereignis , für das bei achtmaligem Ziehen einer Kugel aus der Urne mit Zurücklegen gilt:

   Die beiden Terme
   haben die Form
   Das ist die Formel für die Wahrscheinlichkeit bei einer binomialverteilten Zufallsvariable mit Trefferwahrscheinlichkeit und Versuchen. Die Trefferwahrscheinlichkeit entspricht der Wahrscheinlichkeit, dass die Kugel bei einmaligem Ziehen die Zahl trägt.

   Der erste Summand in der Klammer gibt also die Wahrscheinlichkeit an, dass bei achtmaligem Ziehen mit Zurücklegen nie eine Kugel mit der Zahl gezogen wird.

   Der zweite Summand in der Klammer ist dagegen die Wahrscheinlichkeit, dass bei achtmaligem Ziehen mit Zurücklegen jedes Mal eine Kugel mit der Zahl gezogen wird.

   Da der Term in der Klammer von abgezogen wird, kann das Gegenereignis zum Ereignis sein, dass bei achtmaligem Ziehen entweder nie oder jedes Mal eine Kugel mit der Zahl gezogen wird. Eine Möglichkeit für das Ereignis ist also:

   : "Es wird mindestens einmal, aber nicht jedes Mal eine Kugel mit der Zahl gezogen."

   Alternativer Weg
   Eine andere Formulierung des Ereignisses könnte sein:

   : "Es wird mindestens einmal, aber höchstens siebenmal eine Kugel mit der Zahl gezogen."