Abi Baden-Württemberg 2017 Wahlteil C1 (Stochastik)

Aufgabe

Aufgabe C 1

Die Tabelle zeigt die prozentualen Anteile einiger Farben der in Deutschland fahrenden Autos:

Zwei Kinder beobachten vorbeifahrende Autos und achten auf deren Farbe.

1. Zunächst beobachten die beiden Kinder 80 Autos.
   Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeiten folgender Ereignisse:
   "Genau 22 Autos sind silber oder grau."
   "Mindestens 33 Autos sind schwarz."
   "Unter den ersten zehn Autos sind mindestens drei, die keine der in der Tabelle angegebenen Farben haben, und von den anderen 70 Autos sind höchstens 20 schwarz."
   (3 VP)
2. Wie hoch müsste der Anteil der schwarzen Autos mindestens sein, damit mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens unter 100 beobachteten Autos mindestens 28 schwarz sind?
   (2 VP)
3. Das eine Kind bietet dem anderen folgendes Spiel an:
   "Wenn von den nächsten vier Autos mindestens drei hintereinander nicht schwarz sind, bekommst du von mir ein Gummibärchen, ansonsten bekomme ich eines von dir."
   Untersuchen Sie, ob dieses Spiel fair ist.
   (2,5 VP)
4. Es wird vermutet, dass der Anteil der weißen Autos zugenommen hat. Um dies zu überprüfen, wird die Nullhypothese auf dem Signifikanzniveau getestet. Dazu werden die Farben von 500 Autos erfasst.
   Bestimmen Sie die zugehörige Entscheidungsregel.
   (2,5 VP)

Lösung

Lösung zu Aufgabe C 1

1. Die Farben der Autos sind unabhängig voneinander und die Wahrscheinlichkeiten gleichbleibend.
   Es kann also angenommen werden, dass eine Binomialverteilung zugrunde liegt.

   Wahrscheinlichkeit für das Ereignis

   Es gilt:

   Die Wahrscheinlichkeit, dass unter Autos genau Stück silber oder grau sind, liegt bei ungefähr .

   Wahrscheinlichkeit für das Ereignis

   Falls die Zufallsvariable die Anzahl der schwarzen Autos beschreibt, so gilt:

   Die Wahrscheinlichkeit, dass unter Autos mindestens Stück schwarz sind, beträgt ungefähr .

   Wahrscheinlichkeit für das Ereignis

   Die Wahrscheinlichkeit, dass ein Auto keine der in der Tabelle angegebenen Farben hat, liegt bei:

   Damit kann die Wahrscheinlichkeit , dass unter den ersten zehn Autos mindestens 3 andersfarbige Autos sind, berechnet werden als:
   Die Wahrscheinlichkeit , dass von den anderen 70 Autos höchstens 20 schwarz sind, liegt bei:
   Die beiden Ereignisse sind unabhängig voneinander, es gilt also:
   Die Wahrscheinlichkeit, dass unter den ersten zehn Autos sind mindestens drei sind, die keine der in der Tabelle angegebenen Farben haben und von den anderen 70 Autos höchstens 20 schwarz sind, beträgt ungefähr .

2. Der Anteil der schwarzen Autos wird im folgenden mit bezeichnet. Es soll gelten:

   Mithilfe eines GTR erhält man .
   Falls der Anteil der schwarzen Autos mindestens beträgt, ist die Wahrscheinlichkeit, unter 100 beobachteten Autos mindestens 28 schwarze zu sehen, mindestens .

3. Bedingung für faires Spiel

   Der Einsatz beziehungsweise Gewinn des Spiels ist ein Gummibärchen. Das Spiel ist genau dann fair, wenn die Wahrscheinlichkeit für einen Gewinn genau beträgt.

   Wahrscheinlichkeit für Sieg

   Nun wird die Wahrscheinlicbkeit berechnet, dass dasjenige Kind gewinnt, dem das Spiel angeboten wird. Die Wahrscheinlichkeit, dass ein Auto schwarz ist, beträgt:

   Die Wahrscheinlichkeit, dass genau drei Autos nicht schwarz sind, beträgti:
   und die Wahrscheinlichkeit, dass vier Autos nicht schwarz sind, beträgt:
   Dass unter 4 Autos mindestens 3 nacheinander nicht schwarz sind, tritt wie folgt ein:
   • Auto 1 ist schwarz, die anderen drei nicht.
   • Autos 1-3 sind nicht schwarz, jedoch Auto 4
   • Alle 4 Autos sind nicht schwarz

   Damit gilt für die gesuchte Wahrscheinlichkeit :

   Fazit

   Die Wahrscheinlichkeiten für einen Sieg beziehungsweise eine Niederlage, betragen beziehungsweise . Das Spiel ist daher nicht fair.

4. Die Zufallsvariable beschreibt hier die Anzahl der weißen Autos und die Nullhypothese lautet:

   Die Nullhypothese wird abgelehnt, wenn die Anzahl der weißen Autos zu groß ist. Es ist also ein rechtsseitiger Test durchzuführen.
   Insofern erhält man einen Ablehnungsbereich
   wobei die kleinste Zahl ist, für die gilt:
   Hier kann man sich mithilfe eines GTR eine Tabelle erstellen lassen und erhält somit:
   Daraus trifft man die folgende Entscheidungsregel: Wenn mindestens 87 weiße Autos gezählt werden, wird die Nullhypothese verworfen, ansonsten nicht.