Abi Baden-Württemberg 2017 Wahlteil B1 (Analytische Geometrie)

Aufgabe B 1

Ein Künstler teilt einen quaderförmigen Container durch einen ebenen Schnitt in einen großen und einen kleinen Teilkörper. Der Container wird in einem Koordinatensystem als Quader mit den Eckpunkten , , , , , , und dargestellt (Koordinatenangaben in Meter).
Die Ebene schneidet die Kanten des Quaders in den Punkten , , und . Der kleine Teilkörper hat also die Eckpunkte , , , , , .

1. Bestimmen Sie eine Koordinatengleichung der Ebene .
   Begründen Sie, dass es sich bei dem Viereck um ein Trapez handelt.
   Berechnen Sie den Flächeninhalt des Trapezes .
   Teilergebnis:
   (6 VP)
2. Der kleine Teilkörper wird mit den Schnittkanten nach unten auf den großen Teilkörper gestellt.
   Bestimmen Sie die Höhe des zusammengesetzten Körpers.
   (1 VP)
3. Der Container besitzt eine Tür, die im geschlossenen Zustand durch das Viereck dargestellt wird. Die Tür ist drehbar um die Kante, die durch die Strecke beschrieben wird.
   Jede Ebene beschreibt eine mögliche Stellung dieser Tür.
   Bestimmen Sie den Wert für , für den der Öffnungswinkel der Tür beträgt.
   (2 VP)

Lösung

Lösung zu B 1

1. Koordinatengleichung der Ebene

   Die Ebene enthält die Punkte , und . Eine Parameterform der Ebene ist daher gegeben durch.

   Ein Normalenvektor der Ebene kann zum Beispiel durch das Kreuzprodukt der beiden Spannvektoren bestimmt werden. Es gilt:
   Ein Ansatz für eine Koordinatengleichung der Ebene ist damit gegeben durch:
   Um den Wert des Parameters zu berechnen, wird eine Punktprobe, beispielsweise mit dem Punkt , durchgeführt:
   Eine Koordinatengleichung der Ebene ist gegeben durch:

   ist ein Trapez

   Ein Trapez ist ein Viereck mit zwei gegenüberliegenden parallelen Seiten. Es gelten:

   und damit:
   Das Viereck hat also zwei parallele gegenüberliegende Seiten und ist damit ein Trapez.

   Flächeninhalt des Trapezes

   Der Flächeninhalt eines Trapezes ist gegeben durch

   Der Flächeninhalt des Trapezes ist damit gegeben durch
   wobei die Gerade durch die Punkte und beschreibt.
   Zunächst wird eine Gleichung der Geraden bestimmt:
   Anschließend wird die Hilfsebene bestimmt, welche senkrecht zu steht und durch den Punkt verläuft. Als Normalenvektor von kann der Richtungsvektor der Geraden gewählt werden, also ist eine Normalengleichung von gegeben durch:
   Der Wert des Parameters kann durch eine Punktprobe mit berechnet werden.
   Eine Koordinatengleichung der Hilfsebene ist gegeben durch:
   Nun wird der Schnittpunkt der Geraden mit der Ebene berechnet:
   Der Lotfußpunkt von auf ist damit gegeben durch:
   Der Abstand des Punktes zur Gerade kann wie folgt berechnet werden:
   Für den Flächeninhalt des Trapezes gilt:
   Der Flächeninhalt des Trapezes ist also .

2. Zunächst wird eine Skizze des zusammengesetzten Körpers angefertigt.

   Höhe des kleinen Teilkörpers

   Die Höhe des kleinen Teilkörpers entspricht dem Abstand des Punktes von der Ebene . Dieser Abstand kann wie folgt berechnet werden:

   Die Höhe des kleinen Teilkörpers beträgt .

   Höhe des großen Teilkörpers

   Die Höhe des großen Teilkörpers kann direkt abgelesen werden und es gilt:

   Gesamthöhe des zusammengesetzten Körpers

   Die Gesamthöhe des zusammengesetzen Körpers kann nun berechnet werden, und es gilt:

   Der Körper hat eine Höhe von , also ungefähr .

3. Die Tür liegt im geschlossenen Zustand in der Ebene . Für den Winkel zwischen der -Ebene und der Ebene gilt:

   Der Öffnungswinkel der Türe soll laut Aufgabenstellung betragen. Es gilt:
   Gesucht sind damit die Lösungen der Gleichung:
   und damit wegen :
   Falls die Türe in der Ebene
   liegt, beträgt der Öffnungswinkel der Türe .