Abi Baden-Württemberg 2017 Wahlteil A2 (Analysis)

Aufgabe

Aufgabe 1

An einem Stausee wird der Zu- und Abfluss künstlich geregelt. Dabei wird die momentane Zuflussrate beschrieben durch die Funktion mit

1. Zunächst werden die ersten 24 Stunden nach Beobachtungsbeginn betrachtet.
   Bestimmen Sie die minimale momentane Zuflussrate.
   In welchem Zeitraum nimmt die Wassermenge im Stausee ab?
   Bestimmen Sie die maximale momentane Änderungsrate der Wassermenge.
   (4,5 VP)
2. Zu Beobachtungsbeginn befinden sich Wasser im See.
   Bestimmen Sie die Wassermenge im Stausee 12 Stunden nach Beobachtungsbeginn.
   Begründen Sie, dass die Wassermenge in jedem 24-Stunden-Zeitraum um zunimmt.
   Welchen Wert müsste die konstante Abflussrate haben, damit nach Ablauf von 14 Tagen die Wassermenge im Stausee betragen würde?
   (5 VP)

Aufgabe 2

Gegeben ist die Funktion mit .

1. Die Gerade durch den Hochpunkt und den Tiefpunkt des Graphen von schneidet die Koordinatenachsen in den Punkten und . Bestimmen Sie den prozentualen Anteil der Strecke an der Strecke .
   (4 VP)
2. Begründen Sie, dass die Steigung des Graphen von keine Werte kleiner als annehmen kann.
   (2.5 VP)
3. Der Graph von und die Gerade mit der Gleichung schließen eine Fläche ein. Diese Fläche rotiert um die Gerade . Berechnen Sie das Volumen des entstehenden Rotationskörpers.
   (2 VP)
4. Eine Parallele zur -Achse schneidet aus dem Graphen von ein Kurvenstück aus, das den Tiefpunkt enthält. Die Endpunkte dieses Kurvenstücks haben den Abstand voneinander. Bestimmen Sie eine Gleichung dieser Parallelen.
   (2 VP)

Lösung

Lösung zu Aufgabe 1

1. Zunächst werden die ersten drei Ableitungen der Funktion bestimmt. Es gelten:

   Minimale Zuflussrate in den ersten 24 Stunden

   Gesucht ist der Tiefpunkt des Graphen von . Hierzu werden für die Lösungen der Gleichung bestimmt, also:

   Nun muss untersucht werden, ob es sich um einen Hochpunkt oder einen Tiefpunkt handelt. Es gelten:
   Damit hat der Graph von an der Stelle einen Hochpunkt und an der Stelle einen Tiefpunkt. Es gilt:
   Die minimale Zuflussrate liegt damit bei .

   Zeitraum in den ersten 24 Stunden, in welchem die Wassermenge im Stausee abnimmt

   Die Funktion beschreibt die Zuflussmenge und die Funktion beschreibt die Abflussmenge des Wassers in den Stausee. Die Wassermenge im Stausee nimmt immer dann ab, wenn die Zuflussmenge kleiner ist als die Abflussmenge. Dies ist genau dann der Fall, wenn gilt:

   
   Zunächst werden diejenigen Zeitpunkte bestimmt, in denen
   gilt, also
   Mithilfe eines GTR lassen sich die Lösungen dieser Gleichung mit bestimmen:
   Der Graph der Funktion hat an der Stelle einen Hochpunkt und an der Stelle einen Tiefpunkt. Die Funktion ist konstant. Die Änderungsrate der Wassermenge des Stausees kann beschrieben werden durch die Funktion mit
   Die Wassermenge nimmt daher zum Zeitpunkt am meisten zu und zum Zeitpunkt am meisten ab. Damit nimmt sie im Zeitraum zwischen 13,16 Stunden und 22,84 Stunden nach Beobachtungsbeginn ab.

   Maximale momentane Änderungsrate in den ersten 24 Stunden

   Die momentane Änderungsrate der Wassermenge kann beschrieben werden durch die Ableitung der Funktion mit

   Also
   Gesucht ist der Hochpunkt des Graphen von , also die Lösungen der Gleichung
   Die Lösungen dieser Gleichung sind wieder gegeben durch:
   Es gelten:
   Der Graph der Funktion hat an der Stelle einen Hochpunkt. Es gilt:
   Die maximale momentane Änderungsrate der Wassermenge im Stausee liegt bei .

   Alternativer Weg
   Der Verlauf des Graphen von entspricht dem Verlauf des Graphen von . Der Graph von ist lediglich um nach unten verschoben. Der Graph von hat also an derselben Stelle wie der Graph von einen Hochpunkt: Bereits im vorangenenen Aufgabenteil wurden die Stellen bestimmt, an denen der Graph von Extrempunkte besitzt. Der Graph von hat einen Hochpunkt bei , also auch der Graph von . Es gilt:

   Die maximale momentane Änderungsrate der Wassermenge im Stausee liegt bei .

2. Wassermenge im Stausee 12 Stunden nach Beobachtungsbeginn

   Zu Beobachtungsbeginn befinden sich Wasser im Stausee. Gesucht ist die Wassermenge im Stausee 12 Stunden nach Beobachtungsbeginn. Die Änderungsrate der Wassermenge im Stausee ist gegeben durch die Funktion mit

   In den ersten 12 Stunden nach Beobachtungsbeginn kommt die Menge an Wasser hinzu. Hierbei gilt:
   In den ersten 12 Stunden kommen also ungefähr Wasser hinzu. Im Stausee befinden sich damit 12 Stunden nach Beobachtungsbeginn ungefähr Wasser.

   Zunahme der Wassermenge in 24 Stunden

   Die Funktion für die Zuflussrate ist periodisch mit einer Periodenlänge von 24 Stunden. Die Funktion für die Abflussrate ist konstant. Innerhalb eines 24 Stundenzeitraum verändert sich die Wassermenge im Stausee wie folgt:

   Innerhalb von 24 Stunden nimmt die Wassermenge im Stausee also um zu.

   Bestimmung der konstanten Abflussrate

   Zunächst wird bestimmt, wie sich die Wassermenge im See innerhalb von 24 Stunden ohne Abfluss verändern würde. Gerade eben wurde gezeigt, dass bei einer konstanten Abflussrate von die Wassermenge im See um zunimmt. Ohne Abfluss nimmt die Wassermenge des Stausees in 24 Stunden um zu mit

   Innerhalb von 24 Stunden nimmt die Wassermenge im Stausee ganz ohne Abfluss um zu. In einem Zeitraum von 14 Tagen fließen damit Wasser hinzu. Zu Beginn des Beobachtungszeitraumes waren Wasser im Stausee enthalten. Ohne Abfluss würde der Stausee somit Wasser enthalten.

   Damit am Ende der 14 Tage genau Wasser im Stausee enthalten sind, müssen also in 14 Tagen Wasser abfließen, das entspricht pro Tag und pro Stunde.

Lösung zu Aufgabe 2

1. Extrempunkte

   Zunächst werden die Extrempunkte des Graphen von bestimmt. Für die ersten beiden Ableitungen von gelten:

   Die Nullstellen der ersten Ableitung sind die Lösungen der Gleichung:
   Außerdem gelten:
   Damit hat der Graph von an der Stelle einen Hochpunkt und an der Stelle einen Tiefpunkt. Nun werden die vollständigen Koordinaten der Extrempunkte ermittelt:
   Der Graph von hat den Hochpunkt und den Tiefpunkt .

   Gleichung der Gerade durch die Punkte und

   Zunächst wird eine Gleichung der Geraden bestimmt, welche die Punkte und enthält. Für die Steigung der Geraden gilt:

   Die Gerade hat damit die Gleichung:
   Mithilfe einer Punktprobe mit wird der Wert des -Achsenabschnitts bestimmt:
   Die Gerade hat also die Gleichung

   Bestimmung der Schnittpunkte

   Die Schnittpunkte der Geraden mit den Koordinatenachsen sind gegeben durch:

   Bestimmung des prozentualen Anteils

   Zunächst wird die Länge der Strecke zwischen den beiden Extrempunkten bestimmt. Es gilt:

   Für die Länge der Strecke zwischen den beiden Schnittpunkten mit den Koordinatenachsen gilt:
   Der prozentuale Anteil der Strecke an der Strecke ist gegeben durch:
   Der prozentuale Anteil der Strecke an der Strecke beträgt .

2. Die Steigung des Graphen von an der Stelle ist der Wert der Ableitung an dieser Stelle. Die Funktion mit

   ordnet damit jedem die Steigung des Graphen von an dieser Stelle zu. Zu zeigen ist also, dass die Funktion keine Werte kleiner als besitzt. Dafür werden zunächst die Extrempunkte des Graphen von bestimmt. Es gelten:
   und damit:
   Wegen
   hat der Graph der Funktion den Tiefpunkt . Der Graph von ist damit eine nach oben geöffnete Parabel mit Tiefpunkt . Die Funktion und damit die Ableitung der Funktion , beziehungsweise die Steigung des Graphen von , kann damit keine Werte annehmen, die kleiner als sind.

3. Der Graph von und die Gerade sind im folgenden Schaubild dargestellt.

   Zunächst werden die Schnittpunkte der beiden Graphen berechnet. Es gilt:
   Mithilfe eines GTR erhält man die Lösungen
   Das Volumen des entstehenden Rotationskörpers kann bestimmt werden durch:
   Mithilfe eines GTR kann der Wert des Integrals bestimmt werden. Es gilt:
   Der Rotationskörper hat ein Volumen von ungefähr .

4. Eine Parallele zur -Achse soll aus dem Graphen von ein Kurvenstück ausschneiden, das den Tiefpunkt des Graphen enthält und dessen Endpunkte einen Abstand von voneinander haben. In der nachfolgenden Skizze ist der Sachverhalt veranschaulicht.

   Gesucht sind die Lösungen der folgenden Gleichung:
   Mithilfe eines GTR können diese Stellen ohne weitere Umformung bestimmt werden, und es gilt:
   Das ausgeschnittene Kurvenstück soll den Tiefpunkt des Graphen von enthalten. Der Tiefpunkt hat die Koordinaten . Somit kommt nur die Lösung infrage. Es gilt
   Damit schneidet die Gerade mit der Gleichung ein Kurvenstück des Graphen von aus, das den Tiefpunkt enthält und dessen Endpunkte den Abstand voneinander haben.