Abi Baden-Württemberg 2017 Wahlteil A1 (Analysis)

Aufgabe

Aufgabe A 1.1

Die Anzahl der Käufer einer neu eingeführten Smartphone-App soll modelliert werden. Dabei wird die momentane Änderungsrate beschrieben durch die Funktion mit

1. Zunächst werden nur die ersten zwölf Monate nach der Einführung betrachtet.
   Geben Sie die maximale momentane Änderungsrate an. Bestimmen Sie den Zeitraum, in dem die momentane Änderungsrate größer als Käufer pro Monat ist. Bestimmen Sie die Zeitpunkte, zu denen die momentane Änderungsrate am stärksten abnimmt bzw. zunimmt.
   (4 VP)
2. Zeigen Sie, dass für die Funktion streng monoton fallend ist und nur positive Werte annimmt.
   Interpretieren Sie dies in Bezug auf die Entwicklung der Käuferzahlen.
   (4 VP)
3. Ermitteln Sie die Gesamtzahl der Käufer sechs Monate nach Einführung der App. Bestimmen Sie den Zeitraum von zwei Monaten, in dem es neue Käufer gibt.
   (3 VP)
4. Bei einer anderen neuen App erwartet man maximal Käufer.
   In einem Modell soll angenommen werden,
   dass sich die Gesamtzahl der Käufer nach dem Gesetz des beschränkten Wachstums entwickelt.
   Sechs Monate nach Verkaufsbeginn gibt es bereits Käufer.
   Bestimmen Sie einen Funktionsterm, welcher die Gesamtzahl der Käufer in Abhängigkeit von der Zeit beschreibt.
   (3 VP)

Aufgabe A 1.2

Die Funktion ist gegeben durch .

1. Die Tangente an den Graphen von im Punkt verläuft durch .
   Bestimmen Sie die Koordinaten von .
   (2 VP)
2. Es gibt einen Punkt auf dem Graphen von , der den kleinsten Abstand zur Geraden mit der Gleichung besitzt.
   Ermitteln Sie die -Koordinate dieses Punktes.
   (2 VP)

Lösung

Lösung zu Aufgabe A 1.1

1. Ableitungen

   Für die ersten drei Ableitungen von gelten:

   Maximale Änderungsrate

   Die Funktion beschreibt die momentane Änderungsrate der App-Käufer. Die maximale momentane Änderungsrate entspricht dem Maximum der Funktion .
   Nun werden die Lösungen der Gleichung

   Nun wird untersucht, ob der Graph der Funktion an der Stelle einen Hochpunkt oder einen Tiefpunkt besitzt. Es gilt:
   Der Graph der Funktion hat an der Stelle einen Hochpunkt. Es gilt:
   In den ersten zwölf Monaten kaufen maximal ungefähr Kunden pro Monat die App. Dies ist zwei Monate nach Einführung der Fall.

   Änderungsrate größer als 4000 Kunden pro Monat

   Die Funktion beschreibt die momentane Änderungsrate der App-Käufer. Gesucht sind also die Lösungen der folgenden Gleichung:
   

   Mithilfe des GTR erhält man:
   Die momentane Änderungsrate der Käufer beträgt ungefähr 1,20 Monate und 3,02 Monate nach Einführung genau 4000 Käufer pro Monat. Genau zwei Monate nach Einführung ist die Anzahl der Käufer maximal, damit ist die momentane Änderungsrate im Zeitraum zwischen 1,20 Monate und 3,02 Monate nach Einführung größer als 4000 Käufer pro Monat.

   Stärkste Abnahme oder Zunahme der Änderungsrate

   Gesucht sind die Wendepunkte des Graphen von . Man bestimmt zunächst die Lösungen der Gleichung

   Außerdem gilt:
   Der Graph der Funktion hat an der Stelle einen Wendepunkt. Die Abnahme beziehungweise Zunahme der Änderungsrate beträgt an dieser Stelle:
   Die Funktion wird betrachtet für , die Randwerte und müssen also auch betrachtet werden. Es gelten:
   Die Änderungsrate nimmt also für am stärksten zu und für am stärksten ab.

2. Monotonie für

   Die Ableitung der Funktion ist gegeben durch:

   Es gilt:
   Für alle gilt:
   für zusätzlich
   und damit:
   Damit gilt für :
   Folglich ist der Graph der Funktion streng monoton fallend für .

   Die Funktion nimmt nur positive Werte an

   Die Funktion ist definiert als

   Für gilt:
   und für gilt zusätzlich:
   Damit gilt für
   Die Funktion nimmt für nur positive Werte an.

   Interpretation

   Es gibt stets neue Käufer für die App, die Anzahl der Käufer nimmt aber zwei Monate nach Markteinführung der App kontinuierlich ab.

3. Gesamtzahl der Käufer nach 6 Monaten

   Die Funktion beschreibt die Anzahl der Käufer pro Monat. Die Gesamtzahl der Käufer sechs Monate nach Markteinführung ist damit gegeben durch:

   Mithilfe eines GTR kann das Integral berechnet werden und es gilt:
   Insgesamt gab es im ersten halben Jahr ungefähr Käufer für die App.

   Zeitraum von 2 Monaten, in dem es 5000 neue Käufer gibt

   Gesucht ist dasjenige für das gilt:

   Mithilfe eines GTR erhält man: . Im Zeitraum zwischen 4 und 6 Monaten nach Einführung der App gibt es 5000 neue Käufer.

4. Die Käuferzahlen einer weiteren App sollen mithilfe einer Funktion modelliert werden.
   Dabei wird angenommen, dass sich die App gemäß dem Gesetz des beschränkten Wachstums entwickelt. Für eine Funktion , welche beschränktes Wachstum beschreibt, gilt:

   wobei den Anfangsbestand, die obere Schranke und die Wachstumskonstante darstellt. Man erwartet maximal Käufer für die App, es gilt also:
   Zum Zeitpunkt der Markteinführung gibt es noch keinen Käufer und damit:
   Die Funktion , welche die Anzahl der Käufer für die App beschreibt, hat also folgende Gestalt:
   Sechs Monate nach Einführung der App hat diese bereits Käufer. Es gilt also:
   Die Käuferzahlen der App entwickeln sich gemäß der Funktion mit

Lösung zu Aufgabe A 1.2

1. Die Funktion ist gegeben durch
   und die Koordinaten des Punktes . Der Punkt liegt nicht auf dem Graphen von , weil die Funktion an der Stelle eine Definitionslücke besitzt. Die Tangenten an den Graphen von im Punkt verläuft durch den Punkt wie im folgenden Schaubild dargestellt.
   Die Koordinaten des Punktes sind unbekannt.
   Eine Gleichung für eine Tangente an den Graphen von im Punkt ist gegeben durch:
   Es gilt also:
   Der Punkt liegt auf der Tangente, deshalb kann eine Punktprobe mit durchgeführt werden:
   Wegen
   lauten die Koordinaten des Punktes mit den geforderten Eigenschaften .
2. Im folgenden Schaubild wird der Sachverhalt dargestellt.
   Gesucht ist die -Koordinate des Punktes , welcher auf dem Graphen von liegt und von diesem den kleinsten Abstand zur Gerade besitzt. Die Tangente an den Graphen von im Punkt hat deshalb dieselbe Steigung wie die Gerade , also muss gelten:
   Aus dem Schaubild kann abgelesen werden, dass lediglich eine Lösung ist.