Abi Baden-Württemberg 2016 Wahlteil B2

Aufgabe

Aufgabe B 2.1

Die Punkte , , und sind die Eckpunkte der Pyramide . Der Punkt ist der Mittelpunkt der Kante und ist der Mittelpunkt der Kante . Die Ebene verläuft durch , und .

1. Die Ebene schneidet die Pyramide in einer Schnittfläche.
   Stellen Sie Pyramide und Schnittfläche in einem Koordinatensystem dar.
   Berechnen Sie den Umfang der Schnittfläche.
   Bestimmen Sie eine Koordinatengleichung von .

   Teilergebnis:

   (4 VP)

2. Der Punkt liegt auf der Kante und bildet mit und ein rechtwinkliges Dreieck.
   Bestimmen Sie die Koordinaten des Punktes .

   (3 VP)

3. Der Punkt liegt in der -Ebene und im Innern der Pyramide . Er hat von der Grundfläche , der Seitenfläche und von den gleichen Abstand.
   Bestimmen Sie die Koordinaten von .

   (3 VP)

Aufgabe B 2.2

Eine Tanzgruppe besteht aus 8 Anfängerpaaren und 4 Fortgeschrittenenpaaren. Aus der Erfahrung vergangener Jahre weiß man, dass Anfängerpaare mit einer Wahrscheinlichkeit von bei den abendlichen Tanzstunden anwesend sind, Fortgeschrittenenpaare mit einer Wahrscheinlichkeit von . Man geht davon aus, dass die Entscheidungen der Tanzpaare über die Teilnahme an der Tanzstunde voneinander unabhängig sind.
Bestimmen Sie die WahrscheinIichkeit dafür, dass an einem Abend alle Fortgeschrittenenpaare anwesend sind.
Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass an einem Abend mindestens Anfängerpaare und höchstens Fortgeschrittenenpaare anwesend sind.
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass an einem Abend mindestens Paare anwesend sind?

Lösung

Lösung zu Aufgabe B 2.1

1. Koordinaten der Mittelpunkte

   Die Mittelpunkte und kann man direkt ablesen, aber auch mit

   berechnen. Es ergibt sich:

   Zeichnung

   Umfang der Schnittfläche

   Anhand der Zeichnung sieht man, dass die Schnittfläche das Dreiecks ist. Der Umfang ist die Summe der Seitenlängen:

   Somit sind die Längen der folgenden Vektoren zu berechnen:
   Diese sind
   und man erhält
   Der Umfang der Schnittfläche beträgt in etwa .

   Koordinatengleichung von

   Als erstes bestimmt man eine Parametergleichung der Ebene , indem man einen der Eckpunkte, zum Beispiel , als Stützpunkt und die angrenzenden Dreieckskanten, also und , als Spannvektoren wählt:

   Um eine Koordinatengleichung der Ebene zu bestimmen, berechnet man zunächst das Kreuzprodukt der Spannvektoren:
   Damit erhält man einen Ansatz für die Koordinatengleichung:
   Um den Wert des Parameters zu berechnen, wir eine Punktprobe mit dem Stützpunkt durchgeführt:
   Damit lautet eine Koordinatengleichung der Ebene

2. Zur Lösung dieser Teilaufgabe bildet man zunächst die Gerade, auf der die Kante liegt:

   Damit ein beliebiger Punkt auf die geforderte Bedingung erfüllt, muss das Skalarprodukt der Vektoren und gleich 0 sein. Die Koordinaten dieser Vektoren lauten
   Es muss also gelten:
   Mithilfe eines GTR oder der Mitternachtsformel erhält man die Lösungen
   Für liegt der zugehörige Punkt nicht zwischen und . Mit ergibt sich:
   Der gesuchte Punkt ist also .

   Alternativer Weg
   Der Punkt ergänzt das Dreieck zu einem Quadrat. Folglich hat das Dreieck in einen rechten Winkel. Außerdem werden die Punkte und durch Streckung um das Streckzentrum mit Faktor auf und abgebildet.

   Streckt man nun das Dreieck um den Faktor um , so ist das Bild das rechtwinklige Dreieck , wobei auf der Seite liegt. Die Koordinaten von ergeben sich dann durch

3. Die Grundfläche liegt in der -Ebene, die Seitenfläche in der -Ebene (siehe Zeichnung).
   Der Abstand zur Grundfläche ist also der Betrag der -Koordinate und der Abstand zu ist die -Koordinate des Punktes . Da innerhalb der Pyramide liegt, müssen diese Koordinaten beide positiv sein. Weil der Punkt laut Aufgabenstellung in der -Ebene liegt, ist seine -Koordinate gleich . Zusammengefasst muss die folgende Form besitzen:

   Dann ist der Abstand zur -Ebene und zur -Ebene gerade . Dies muss dann auch für den Abstand zur Ebene gelten:
   Damit diese Gleichung erfüllt ist, muss eine der folgenden zwei Gleichungen lösen:
   Dies führt zu den Lösungen:
   Für liegt der Punkt außerhalb der Pyramide. Die gesuchte Lösung ist .

Lösung zu Aufgabe B 2.2

Anwesenheit aller Fortgeschrittenenpaare

Die Wahrscheinlichkeit , dass alle Fortgeschrittenenpaare anwesend sind, berechnet sich mittels

Anwesenheit von mindestens 6 Anfänger- und höchstens 3 Fortgeschrittenenpaaren

Zwei Zufallsvariablen und beschreiben die Anzahl der Anfänger- bzw. Fortgeschrittenenpaare, welche an einem Abend anwesend sind. Die Größe ist -verteilt und die Größe ist -verteilt. Außerdem sind die Größen und sind unabhängig. Die gesuchte Wahrscheinlichkeit berechnet sich mithilfe eines GTR wie folgt:

Anwesenheit von mindestens 11 Paaren

Es sind mindestens 11 Paare anwesend, wenn entweder alle Paare anwesend sind oder alle Anfänger-und 3 Fortgeschrittenenpaare oder alle Fortgeschrittenen- und 7 Anfängerpaare. Also berechnet sich die gesuchte Wahrscheinlichkeit mittels