Abi Baden-Württemberg 2016 Wahlteil B1

Aufgabe

Aufgabe B 1.1

In einem Koordinatensystem beschreiben die Punkte , und Eckpunkte der rechteckigen Nutzfläche einer Tribüne (alle Koordinatenangaben in Meter). Die -Ebene stellt den Erdboden dar. Die Eckpunkte der Dachfläche liegen vertikal über den Eckpunkten der Nutzfläche. Die Dachfläche liegt in der durch beschriebenen Ebene (siehe Abbildung).

1. Bestimmen Sie eine Koordinatengleichung der Ebene, in der die Nutzfläche liegt.
   Berechnen Sie den Neigungswinkel der Nutzfläche gegen den Erdboden.
   Ermitteln Sie den Inhalt der Nutzfläche.
   (4 VP)
2. Aus Sicherheitsgründen muss die senkrecht zum Erdboden verlaufende Rückwand zwischen der Nutzfläche und der Dachfläche mindestens hoch sein.
   Überprüfen Sie, ob diese Bedingung erfüllt ist.
   Zur Installation von Lautsprechern wird eine lange, senkrecht zum Erdboden verlaufende Stütze montiert. Ihre Enden werden an der Kante und am Dach der Tribüne fixiert.
   Berechnen Sie die Koordinaten des Punktes auf der Kante , in dem das untere Ende der Stütze fixiert wird.
   (4 VP)

Aufgabe B 1.2

Bei einem Spiel wird ein idealer Würfel verwendet, dessen Netz in der Abbildung dargestellt ist.

1. Der Würfel wird 2-mal geworfen.
   Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die Augensumme der beiden Würfe beträgt.
   Nun wird der Würfel -mal geworfen.
   Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass er mindestens -mal die Augenzahl zeigt.
   Die Beschriftung des Würfels soll so geändert werden, dass man bei -maligem Werfen des Würfels mit mindestens Wahrscheinlichkeit mindestens -mal die Augenzahl erhält.
   Auf wie vielen Seiten des Würfels muss dann die Augenzahl mindestens stehen?
   (4 VP)
2. Ein Spieler hat die Vermutung, dass der ursprüngliche Würfel zu oft die Augenzahl zeigt. Die Nullhypothese
   soll durch eine Stichprobe mit Würfen auf einem Signifikanzniveau von getestet werden.
   Formulieren Sie die zugehörige Entscheidungsregel in Worten.
   (3 VP)

Lösung

Lösung zu Aufgabe B 1.1

1. Koordinatengleichung der Nutzebene Als erstes bestimmt man eine Parametergleichung der Ebene , indem man einen der Eckpunkte, zum Beispiel , als Stützpunkt und die Verbindungsvektoren zu den anderen beiden Punkten, also und , als Spannvektoren wählt:

   Um eine Koordinatengleichung der Ebene zu bestimmen, berechnet man zunächst den Normalenvektor beispielsweise mithilfe des Kreuzprodukts der Spannvektoren:
   Damit erhält man einen Ansatz für die Koordinatengleichung:
   Um den Wert des Parameters zu berechnen, führt man eine Punktprobe mit dem Stützpunkt durch:
   Eine Koordinatengleichung der Ebene ist

   Neigungswinkel der Nutzfläche

   Die -Ebene, welche den Erdboden beschreibt, besitzt den Normalenvektor

   Der gesuchte Winkel berechnet sich mithilfe der Formel

   Inhalt der Nutzfläche

   Die Nutzfläche ist rechteckig. Ihr Flächeninhalt ist also das Produkt der beiden Seitenlängen:

   Da hier eine Längeneinheit gleich einem Meter ist, entspricht eine Flächeneinheit einem Quadratmeter. Die Nutzfläche hat somit einen Flächeninhalt von circa .

2. Überprüfung der Bedingung

   Für diesen Aufgabenteil kann man zum Beispiel denjenigen Punkt betrachten, der senkrecht über dem Punkt liegt. Um diesen zu bestimmen, muss man nur die - und -Koordinate von in einsetzen und erhält . Der Abstand von zu beträgt somit Meter und damit ist die Bedingung erfüllt.

   Koordinaten des gesuchten Punktes

   Hier bietet es sich an, sich einen Punkt zu suchen, der Meter unter liegt und eine zu parallele Ebene zu bilden, die durch diesen Punkt verläuft. Es gilt dann:

   und nach Punktprobe mit :
   und folglich
   Der gesuchte Punkt ist jetzt der Schnittpunkt der Geraden, auf der liegt, mit . Man kann sich das so vorstellen, als ob man die Stütze hinten an der Dachfläche anhält und sie dann soweit nach vorne schiebt, bis sie auf der Kante aufliegt. Für die Gerade durch und gilt:
   Diese Gerade setzt man nun komponentenweise in ein, um und anschließend den Schnittpunkt zu bestimmen.
   Damit ergibt sich der Schnittpunkt durch Einsetzen von in zu . Dies ist also der Punkt, in dem die Stütze fixiert werden muss.

   Alternativer Weg
   Seien der Endpunkt der Stütze in und der Endpunkt der Stütze in . Da die Stütze senkrecht ist, gelten:

   und da die zweite Koordinate von und gleich ist, liegt in der Ebene mit . Damit gilt auch . Weiterhin ist bekannt, dass sich der Punkt genau oberhalb von befindet, also
   Damit ist und . Die Ebenengleichungen der Ebenen , welche den Punkt enthält, und der Ebene , welche den Punkt enthält, ergeben das folgende lineare Gleichungssystem:
   Dieses hat die Lösungen und . Damit ergibt sich für den gesuchten Verankerungspunkt .

Lösung zu Aufgabe B 1.2

1. Bei zweimaligem Würfeln beträgt die Augensumme 3

   Für dieses Ereignis gibt es zwei Möglichkeiten: Es wird zunächst eine Zwei und dann eine Eins geworfen oder umgekehrt. Die Wahrscheinlichkeit von berechnet sich also folgendermaßen:

   Bei zwölfmaligem Würfeln erhält man mindestens viermal die Augenzahl 2.

   Die Wahrscheinlichkeit, eine Zwei zu werfen, beträgt

   Die Zufallsvariable gibt an, wie oft eine Zwei gewürfelt wird. Die Größe ist binomialverteilt mit dem , also -verteilt. Es folgt mitihlfe eines GTR:
   Mit einer Wahrscheinlichkeit von Prozent wird mindestens viermal eine Zwei gewürfelt.

   Änderung der Beschriftung des Würfels

   Die Zufallsvariable gibt an, wie oft eine Drei gewürfelt wird. Die Größe ist binomialverteilt mit der Wahrscheinlichkeit , also -verteilt. Es soll gelten:

   Da die Wahrscheinlichkeit , eine Drei zu werfen, ein Vielfaches von sein muss, geht es am schnellsten, mit dem GTR alle Möglichkeiten mit mehr als Dreien auf dem Würfel auszuprobieren:
   Es muss also auf mindestens vier Seiten die Augenzahl stehen.

2. Die Zufallsvariable beschreibt hier die Anzahl der geworfenen Augenzahl 3, die Nullhypothese lautet:

   Wenn gilt, ist die Größe binomialverteilt mit , also -verteilt. Die Nullhypothese wird abgelehnt, wenn die Anzahl der geworfenen Dreien zu groß ist.
   Es ist ein rechtsseitiger Test durchzuführen. Insofern erhält man einen Ablehnungsbereich
   wobei die kleinste Zahl ist, für die gilt:
   Hier kann man sich mithilfe eines GTR eine Tabelle erstellen lassen, und erhält somit:
   Daraus trifft man die Entscheidungsregel: Wenn die Augenzahl 3 mindestens 27 mal erscheint, wird die Nullhypothese verworfen, sonst nicht.