Abi Baden-Württemberg 2016 Wahlteil A2

Aufgabe

Aufgabe A 2.1

In einem Skigebiet beträgt die Schneehöhe um 10.00 Uhr an einer Messstelle . Die momentane Änderungsrate dieser Schneehöhe wird beschrieben durch die Funktion mit

1. Bestimmen Sie die maximale momentane Änderungsrate der Schneehöhe.
   Ermitteln Sie den Zeitraum, in dem die momentane Änderungsrate der Schneehöhe größer als pro Stunde ist.
   Wie hoch liegt der Schnee um 12.00 Uhr?
   (4 VP)
2. Bestimmen Sie einen integralfreien Funktionsterm, der die Schneehöhe zum Zeitpunkt beschreibt.
   Zu welchen Uhrzeiten beträgt die Schneehöhe ?
   (3 VP)
3. Um 12.30 Uhr werden nun Schneekanonen in Betrieb genommen. Sie liefern konstant so viel Schnee, dass sich die momentane Änderungsrate der Schneehöhe an der Messstelle um pro Stunde erhöht.
   Um wie viele Stunden verlängert sich durch diese Maßnahme der Zeitraum, in dem die Schneehöhe zunimmt?
   Wie viele Zentimeter Schnee pro Stunde müssten die Schneekanonen ab 12.30 Uhr liefern, damit um 18.00 Uhr die Schneehöhe betragen würde?
   (4 VP)

Aufgabe A 2.2

Für jedes ist eine Funktion gegeben durch

1. Bestimmen Sie für die Längen der beiden Diagonalen dieser Raute.
   (2 VP)
2. Bestimmen Sie den Wert von , für den die Raute ein Quadrat ist.
   (2 VP)

Lösung

Lösung zu Aufgabe 1

1. Maximale momentane Änderungsrate der Schneehöhe

   Da die Funktion die momentane Änderungsrate der Schneehöhe beschreibt, entspricht die maximale momentane Änderungsrate dem Maximum der Funktion .
   Es muss also das Maximum der Funktion mithilfe eines GTR oder schriftlich berechnet werden: Es gelten:

   Die Nullstellen der ersten Ableitung sind gegeben durch die Lösungen der Gleichung:
   Nun wird noch überprüft, ob an dieser Stelle tatsächlich ein Maximum vorliegt. Es gilt:
   Damit liegt an der Stelle ein Maximum der Funktion vor, wobei:
   Die Randwerte sind
   Die maximale momentane Änderungsrate beträgt somit ungefähr pro Stunde.

   Alternativer Weg
   Bei dem Funktionsterm von bietet sich eine Substitution an, sodass sich ergibt:

   Bringt man diese in die Scheitelpunktform erhält man
   Aus diesem Term lässt sich direkt ablesen, dass das Maximum von gleich ist. Dieses wird für angenommen. Also ist
   Damit liegt im Definitionsbereich von , womit die maximale Änderungsrate der Schneehöhe tatsächlich Zentimeter pro Stunde ist.

   Zeitraum, in dem die momentane Änderungsrate größer als pro Stunde ist

   Zur Berechnung des Zeitraums, in dem die die momentane Änderungsrate größer als pro Stunde ist, müssen die Schnittpunkte des Graphen der Funktion mit der Geraden mithilfe eines GTR bestimmt werden:
   Da schon bekannt ist, dass an der Stelle ein Maximum von vorliegt, das mit größer als ist, sind die Funktionswerte von zwischen und größer als .
   Um nun endgültig den Zeitraum angeben zu können, ist noch zu beachten, dass um Uhr mit der Messung begonnen wurde.
   Somit ist die momentane Änderungsrate der Schneehöhe von ca. Uhr bis ca. Uhr größer als pro Stunde.

   Alternativer Weg
   Mit der Substitution lassen sich und auch ohne GTR bestimmen. Man erhält:

   Die Mitternachtsformel liefert die Lösungen
   Nach der Rücksubstitution ergibt sich

   Schneehöhe um Uhr

   Zunächst wird beachtet, dass die Schneehöhe zu Beginn der Messung bereits beträgt. Außerdem muss auch hier bedacht werden, dass die Messung um Uhr beginnt, sodass für Uhr also betrachtet werden muss.
   Da die momentane Änderungsrate der Schneehöhe beschreibt, gilt für die Schneehöhe um Uhr:

   Der Schnee liegt um Uhr also ca. hoch.

2. Schneehöhe zum Zeitpunkt

   Da die Funktion die momentane Änderungsrate der Schneehöhe beschreibt, wird durch eine Stammfunktion von die Schneehöhe zur Zeit beschrieben. Ganz allgemein gilt für eine beliebige Stammfunktion von :

   Dieser Term ist zwar schon integralfrei, jedoch muss noch die Bedingung einfließen, dass zu Beginn der Beobachtung bereits Schnee liegen. Damit kann dann auch der Parameter ermittelt werden, sodass eine bestimmte Stammfunktion angegeben werden kann.
   Es gilt also:
   Ein integralfreier Funktionsterm, der die Schneehöhe zur Zeit beschreibt, ist:

   Zeitpunkt, zu dem die Schneehöhe beträgt

   Mit dem gerade bestimmten integralfreien Term lassen sich nun die Zeitpunkte im Intervall bestimmen, zu denen die Schneehöhe beträgt:

   Aus dieser Gleichung kann man mithilfe eines GTR die Lösungen berechnen:
   Somit beträgt die Schneehöhe sowohl um ca. \, Uhr als auch um ca. \, Uhr .

3. Verlängerung des Zeitraums durch Schneekanone

   Wenn sich die momentane Änderungsrate um pro Stunde erhöht, dann gilt für die neue Funktion der Änderungsrate:

   ( in Stunden nach 10.00 Uhr, in Zentimeter pro Stunde.)
   Die Schneehöhe nimmt zu, wenn der Graph von bzw. von oberhalb der -Achse liegt. Daher müssen nun von beiden Funktionen die Nullstellen bestimmt werden.
   Für die Nullstellen von gilt:
   Da schon aus Aufgabenteil a bekannt ist, dass die Funktion an der Stelle ein Maximum besitzt, nimmt die Schneehöhe in diesem Fall in der Zeit von Uhr bis ca. Uhr zu.
   Für die Nullstellen von im Intervall gilt:
   Daraus ergibt sich nun die durch die Schneekanonen verursachte Verlängerung des Zeitraums, in dem die Schneehöhe zunimmt.
   Durch den Einsatz von Schneekanonen verlängert sich der Zeitraum um ungefähr Stunden.

   Alternativer Weg
   Mit der Substitution ergeben sich die Nullstellen von als

   beziehungsweise
   und die Nullstellen von als
   beziehungsweise
   Im Intervall liegt nur die Nullstelle . Die durch die Schneekanonen verursachte Verlängerung des Zeitraums in Stunden, in dem die Schneehöhe zunimmt, berechnet sich damit als
   Die Abweichung der gerundeten Ergebnisses im Vergleich zu oben ergibt sich daraus, dass oben bereits Zwischenergebnisse gerundet wurden und sich damit die Rundungsfehler addieren.

   Notwendige Zentimeter Schnee für eine Schneehöhe von um Uhr

   Mit Hilfe der Funktion aus Aufgabenteil b), lässt sich zunächst die Schneehöhe um Uhr berechnen:

   Da die Schneekanonen erst um Uhr in Betrieb genommen werden, verbleiben Stunden für den Einsatz der Schneekanonen. In dieser Zeit müssen die Schneekanonen eine Schneehöhe von
   liefern.
   Es ergibt sich also folgende Leistung der Schneekanonen:
   Die Schneekanonen müssen somit Schnee pro Stunde liefern, damit um Uhr eine Schneehöhe von erreicht wird.

Lösung zu Aufgabe A 2.2

1. Für gilt

   Zunächst muss berechnet werden, in welchem Punkt der Graph von die -Achse schneidet:
   Der Graph von schneidet die -Achse im Punkt .
   Bei einer Raute schneiden sich die Diagonalen senkrecht in ihren Mittelpunkten. Da die eine Diagonale auf der -Achse liegt und die Länge besitzt, muss die andere Diagonale waagerecht auf der Höhe liegen.
   Daraus ergibt sich nun die folgende Bedingung, mit der die Punkte und der Raute bestimmt werden können:
   Es folgt somit für die -Werte dieser beiden Punkte:
   Damit ergeben sich die folgenden Koordinaten der Eckpunkte als
   Nun lassen sich die Längen der beiden Diagonalen bestimmen. Die Diagonale, die senkrecht auf der -Achse verläuft, besitzt die Länge LE. Die Diagonale, die waagerecht auf der Höhe liegt, besitzt die Länge

2. In einem Quadrat sind die Diagonalen gleich lang.
   Da der Graph von die -Achse im Punkt schneidet, beträgt die Länge der senkrechten Diagonalen auf der -Achse .
   Die waagrechte Diagonale muss ebenfalls die Länge besitzen, wenn die Raute ein Quadrat ist.
   Der Punkt , der sich bei der Raute auf halber Höhe befindet, muss also den -Wert besitzen. Es ergibt sich also die folgende Bedingung:

   Wegen
   nach Voraussetzung muss auch
   gelten. Somit bleibt nur
   Für ist die Raute ein Quadrat.