Abi Baden-Württemberg 2016 Wahlteil A1

Aufgabe

Aufgabe A 1.1

Der Graph der Funktion f mit beschreibt modellhaft für das Profil eines Geländequerschnitts.

Die positive -Achse weist nach Osten, gibt die Höhe über dem Meeresspiegel an (1 Längeneinheit entspricht ).

1. Auf welcher Höhe liegt der höchste Punkt des Profils?
   ln dem Tal westlich dieses Punktes befindet sich ein See, der im Geländequerschnitt an seiner tiefsten Stelle tief ist. Bestimmen Sie die Breite des Sees im Geländequerschnitt.
   Ab einer Hangneigung von besteht die Gefahr, dass sich Lawinen lösen. Besteht an der steilsten Stelle des Profils zwischen See und höchstem Punkt Lawinengefahr?
   (5 VP)
2. Am Hang zwischen dem höchsten Punkt und dem westlich davon gelegenen Tal befindet sich ein in den Hang gebautes Gebäude, dessen rechteckige Seitenwand im Geländequerschnitt liegt. Die Abbildung zeigt den sichtbaren Teil dieser Seitenwand. Die Oberkante der Wand verläuft waagrecht auf Höhe. Von dieser Kante sind sichtbar.
   
   
   Untersuchen Sie, ob der Flächeninhalt des sichtbaren Wandteils größer als ist.
   (3 VP)
3. Der weitere Verlauf des Profils nach Osten hin kann durch eine Parabel zweiter Ordnung modelliert werden, die sich ohne Knick an den Graphen von anschließt. Ihr Scheitel liegt bei und beschreibt den tiefsten Punkt eines benachbarten Tals.
   Auf welcher Höhe befindet sich dieser Punkt?
   (4 VP)

Aufgabe A 1.2

Gegeben ist die Funktion mit

Lösung

Lösung zu Aufgabe A 1.1

1. Im folgenden Schaubild ist der Graph der Funktion abgebildet.

   Höchster Punkt

   Um die höchste Stelle des Profils, also den Hochpunkt des Graphen, zu ermitteln, muss die erste Ableitung gebildet und deren Nullstellen berechnet werden:

   Die Lösungen der Gleichung sind nach dem Satz vom Nullprodukt gegeben durch
   Es gelten:
   Die Randwerte und sind kleiner. Der höchste Punkt des Profils liegt etwa 545 Meter hoch.

   Breite des Sees

   Wie eben schon berechnet, liegt der Tiefpunkt des Profils bei . Da der See an dieser Stelle 10 Meter tief sein soll, befindet sich die Wasserhöhe bei . Die Ufer des Sees sind also dort, wo die Funktion den Wert 3,7 annimmt.

   Der erste Wert liegt auf der anderen Seite des höchsten Punktes, ist also ohne Bedeutung. Die Breite des Sees ist somit der Abstand von und und beträgt in etwa 90 Meter.

   Lawinengefahr

   Die steilste Stelle zwischen Tief- und Hochpunkt befindet sich am Wendepunkt. Um diesen zu berechnen, muss die Nullstelle der zweiten Ableitung bestimmt werden:

   Wegen
   für alle ist eine Wendestelle. Der Steigungswinkel an der Stelle lässt sich bestimmen, indem zunächst die Steigung des Graphen an der Stelle bestimmt wird:
   Für den Winkel , den die Tangente im Wendepunkt mit der -Achse einschließt, gilt:
   An der steilsten Stelle zwischen See und Bergspitze ist die Steigung größer als , deshalb herrscht Lawinengefahr.

2. Die Oberkante verläuft auf 540 Metern Höhe, ab dort ist die Wand sichtbar. Man bestimmt also zunächst mit einem GTR diejenigen Stellen, an denen die Funktion den Wert annimmt:

   Da sich das Gebäude zwischen dem höchsten Punkt () und dem Tal () befindet, kommt von diesen Lösungen nur in Frage. Die sichtbare Oberkante verläuft also bezogen auf die -Richtung zwischen und 300 Metern.
   
   Die gesuchte Fläche ist also die Fläche zwischen dem Graphen von und der Geraden mit zwischen den Werten und . Diese ist der Wert des folgenden Integrals:
   Eine Flächeneinheit sind hier , also . Die sichtbare Fläche der Wand ist also groß und somit größer als .

3. Bei dieser Aufgabe zur Funktionsbestimmung wird eine Funktion zweiten Grades gesucht, also

   Da die gesuchte Parabel ohne Knick an das bis definierte Profil anschließen soll, müssen folgende Bedingungen erfüllt sein:
   Der Scheitel der gesuchten Parabel soll bei liegen, also gilt außerdem
   Aus diesen drei Bedingungen lassen sich drei lineare Gleichungen finden, die alle erfüllt sein müssen. Das entstandene Gleichungssystem kann mit einem GTR oder von Hand gelöst werden.
   Zunächst werden und berechnet.
   Diese Wertepaare werden eingesetzt in die Gleichungen
   Man erhält
   Damit folgt als zu lösendes Gleichungssystem
   Dies führt zu den Lösungen , und . Die Funktionsgleichung der gesuchten Parabel ist gegeben durch
   Um die Höhe, also den -Wert des Scheitelpunktes zu berechnen, wird der Wert bestimmt:
   Der tiefste Punkt des benachbarten Tales liegt also auf 235 Metern.

   Alternativer Weg
   Betrachtet man die Funktionsgleichung von in der Scheitelpunktform

   so ist der Parameter als -Wert des Scheitelpunktes bereits gegeben und ist als -Wert des Scheitelpunktes die gesuchte Talhöhe. Aus der Bedingung
   lässt sich berechnen:
   Die zweite Bedingung liefert nun
   Die gesuchte Höhe ist also 235 Meter.

Lösung zu Aufgabe A 1.2

Zunächst werden die Nullstellen der Funktion bestimmt.