Abi Baden-Württemberg 2015 Wahlteil B2

Aufgabe

Aufgabe B 2.1

Gegeben sind die Ebene und eine Geradenschar durch

1. Bestimmen Sie den Schnittpunkt der Geraden mit der Ebene .
   Welche Gerade der Schar ist orthogonal zu ?
   (3 VP)
2. Berechnen Sie den Schnittwinkel von und .
   Für welche Werte von mit hat der Schnittwinkel von und die Weite ?
   (3 VP)
3. Begründen Sie, dass alle Geraden in der Ebene liegen.
   Es gibt eine Gerade , die durch den Punkt geht und in liegt, aber nicht zur Schar gehört.
   Bestimmen Sie eine Gleichung der Geraden .
   (3 VP)

Aufgabe B 2.2

Bei einem Biathlonwettbewerb läuft ein Athlet eine lange Runde, dann schießt er liegend fünf Mal; anschließend läuft er eine zweite Runde und schießt stehend fünf Mal; nach einer dritten Runde erreicht er das Ziel. Für jeden Fehlschuss muss er direkt nach dem Schießen eine lange Strafrunde laufen. Aufgrund der bisherigen Schießleistungen geht der Trainer davon aus, dass der Athlet stehend mit und liegend mit Wahrscheinlichkeit trifft. Es wird vereinfachend davon ausgegangen, dass die Ergebnisse der einzelnen Schüsse voneinander unabhängig sind.

1. Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass der Athlet stehend bei fünf Schüssen genau vier Mal trifft.
   (1 VP)
2. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass der Athlet im gesamten Wettbewerb höchstens einmal eine Strafrunde laufen muss.
   (3 VP)
3. Der Athlet möchte seine Leistungen im Stehendschießen verbessern und künftig mit über Wahrscheinlichkeit bei fünf Schüssen mindestens vier Mal treffen.
   Welche Trefferwahrscheinlichkeit muss er dafür mindestens erreichen?
   (2 VP)

Lösung

Lösung zu Aufgabe B 2.1

1. Die Parameterform der Geraden lautet:

   Um den Schnittpunkt der Geraden und der Ebene zu bestimmen, werden die Koordinaten eine Punktes von in die Koordinatengleichung der Ebene eingesetzt, und der Wert des Parameters bestimmt:
   Einsetzen von in die Gleichung von liefert nun den Schnittpunkt :
   Die Koordinaten des Schnittpunktes der Gerade und der Ebene lauten .

   Zu orthogonale Gerade der Schar

   Gesucht ist nun ein Wert für , sodass und orthogonal verlaufen.
   Zwei Geraden sind genau dann orthogonal, wenn ihre Richtungsvektoren orthogonal sind. Das ist genau dann der Fall, wenn das Skalarprodukt dieser beiden Vektoren Null ist. Es muss gelten:

   Somit ist von der Geradenschar die Gerade orthogonal zur Geraden .

2. Schnittwinkel von und

   Der Schnittwinkel lässt sich mit Hilfe des Richtungsvektors von , dem Normalenvektor von und der Formel für den Winkel zwischen einer Geraden und einer Ebene berechnen.
   Es gelten:

   und damit für den Winkel :
   Somit beträgt der Schnittwinkel von und ungefähr .

   Schnittwinkel zwischen und der Weite

   Ganz allgemein gilt zunächst für den Schnittwinkel zwischen der Geraden und der Ebene mithilfe der Formel für den Winkel zwischen einer Geraden und einer Ebene:

   Da nun der Wert für gesucht ist, für den gilt, ergibt sich die folgende Gleichung:
   Nun lassen sich mit dem GTR die Werte von im Intervall ermitteln, die diese Gleichung erfüllen, und es gilt:
   Somit hat der Schnittwinkel zwischen und der Ebene als auch zwischen und der Ebene eine Weite von .

3. Begründung, dass alle Geraden in der Ebene liegen

   Zunächst wird gegenseitige Lage der Gerade und der Ebene untersucht. Dazu wird zunächst der Schnittpunkt von und der Ebene bestimmt, indem die Geradengleichung von in die Ebenengleichung von eingesetzt wird:

   Diese Gleichung ist für jeden Wert des Parameters und jeden Wert des Parameter wahr. Somit liegt für jedes in der Ebene .

   Gleichung der Geraden

   Zunächst gilt für eine Gerade , die durch den Punkt in eine beliebige Richtung verläuft:

   Ein möglicher Normalenvektor der Ebene ist
   Da die Gerade zusätzlich in der Ebene liegen soll, muss der Richtungsvektor orthogonal zum Normalenvektor sein. Also muss er die Form
   haben. Weiter soll die Gerade nicht zur Schar gehören. Das gilt genau dann, wenn für keinen Wert von ein Vielfaches des Richtungsvektors der Geradenschar ist. Es soll also keine Zahlen und geben, sodass gilt
   Allerdings ist
   Also muss sein. Für kann nun ein beliebiger Wert gewählt werden, außer . Beispielsweise erhält man mit eine Gleichung für :

Lösung zu Aufgabe B 2.2

1. Die Zufallsvariable beschreibt die Anzahl der Treffer bei fünf Schüssen im Stehen. Die Größe ist binomialverteilt mit Stichprobenumfang und Trefferwahrscheinlichkeit . Für die Wahrscheinlichkeit, genau vier mal zu treffen, gilt:

   Somit beträgt die Wahrscheinlichkeit dafür, stehend bei fünf Schüssen genau vier Mal zu treffen, ungefähr .

2. Die Zufallsvariable beschreibt die Anzahl der Treffer bei fünf Schüssen im Liegen. Die Größe ist binomialverteilt mit Stichprobenumfang und Trefferwahrscheinlichkeit .
   Der Athlet muss höchstens eine Strafrunde, also keine oder eine Strafrunde laufen, wenn er

   • liegend und stehend fünf Mal trifft oder
   • liegend fünf Mal und stehend vier Mal trifft oder
   • liegend vier mal und stehend fünf Mal trifft.

   Die Ereignisse, ob ein Athlet trifft oder nicht, sind unabhängig voneinander. Somit lässt sich die Wahrscheinlichkeit dafür, dass der Athlet höchstens einmal eine Strafrunde laufen muss, wie folgt berechnen:

   Die Wahrscheinlichkeit, höchstens eine Strafrunde laufen zu müssen, beträgt also etwa .

3. Die Zufallsvariable beschreibt die Anzahl der Treffer bei fünf Schüssen im Stehen. Die Größe ist binomialverteilt, wobei der Stichprobenumfang ist und die Trefferwahrscheinlichkeit so bestimmt werden muss, dass mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens vier von fünf Mal im Stehen getroffen wird.
   Daraus ergibt sich der folgende Ansatz:

   Der GTR liefert die Nullstellen:
   Hiervon ist nur als Zahl zwischen und interessant. Somit muss der Athlet eine Trefferwahrscheinlichkeit von mindestens zirka erreichen, damit er mit einer Wahrscheinlichkeit von über bei fünf Schüssen im Stehen mindestens vier Mal trifft.