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Aufgabe A 2.1
Die Entwicklung einer Population in den Jahren 1960 bis 2020 lässt sich durch zwei Funktionen modellhaft beschreiben.
Die Funktion
- Bestimmen Sie die geringste Sterberate.
In welchem Jahr war die Differenz aus Geburten- und Sterberate am größten?
Bestimmen Sie den Zeitraum, in dem die Population zugenommen hat.(4 VP) - Zu Beginn des Jahres 1960 bestand die Population aus \num{20000} Individuen.
Berechnen Sie den Bestand der Population zu Beginn des Jahres 2017.
In welchem Jahr erreichte die Population erstmals wieder den Bestand von 1960?(3 VP)
Betrachtet wird nun das Größenwachstum eines einzelnen Individuums der Population. Dies kann im Beobachtungszeitraum durch das Gesetz des beschränkten Wachstums modelliert werden. Man geht davon aus, dass dieses Individuum in ausgewachsenem Zustand
- Bestimmen Sie eine Gleichung einer Funktion, die die Körpergröße des Individuums in Abhängigkeit von der Zeit beschreibt.
Wie viele Jahre nach Beobachtungsbeginn hat die Körpergröße des Individuums umzugenommen? (4 VP)
Aufgabe A 2.2
Gegeben sind ein Kreis mit Mittelpunkt
Bestimmen Sie die Anzahl der gemeinsamen Punkte des Kreises mit dem Graphen von
Lösung
Lösung zu Aufgabe A 2.1
-
Geringste Sterberate
Der nichtkonstante Summand von
ist gegeben durch und als Produkt eines quadratischen Termes mit der Exponentialfunktion nichtnegativ. Damit kann die geringste Sterberate nicht kleiner alssein und dieser Wert wird für auch angenommen. Die geringste Sterberate liegt somit bei Individuen pro Jahr. Alternativer Weg
Im folgenden Schaubild ist der Graph der Funktiondargestellt. Gesucht ist der Tiefpunkt des Graphen von. Zunächst wird die Ableitung der Funktion bestimmt: Die Nullstellen der Ableitungkönnen mithilfe des Satzes vom Nullprodukt bestimmt werden. Die Exponentialfunktion hat keine Nullstellen und somit sind die Nullstellen von gegeben durch die Lösungen der Gleichung: Diese können mihilfe der Mitternachtsformel bestimmt werden und es gilt:und damit:Aus dem Schaubild kann abgelesen werden, dass der Graph vonan der Stelle einen Tiefpunkt und an der Stelle einen Hochpunkt besitzt. Es gilt: Die geringste Sterberate liegt somit beiIndividuen pro Jahr. Größte Differenz aus Geburten- und Sterberate
Die Differenz aus Geburten- und Sterberate ist gegeben durch die Funktion
mit: Gesucht ist der Hochpunkt des Graphen der Funktion. Zunächst wird die Ableitung der Funktion bestimmt: Die Lösungen der GleichungMithilfe eines GTR können die Lösungen dieser Gleichung bestimmt werden und es gilt:Setzt man diese Nullstellen sowie die Ränder des Definitionsbereiches in die Funktionein, so ist die maximale Differenz aus Geburten- und Sterberate der größte Wert, den man erhält. Die Entwicklung der Population wird für die Jahre 1960 bis 2020 beschrieben durch die Funktionen und beziehungsweise . Der Definitionsbereich dieser Funktionen ist damit gegeben durch . Es gelten: Die Differenz aus Geburtenrate und Sterberate war also zum Zeitpunktam größten, was dem Jahr 1975 entspricht. Zeitraum, in dem die Population zugenommen hat
Die Population nimmt genau zu, wenn die Differenz
aus Geburten- und Sterbrate positiv ist. Hierzu werden zunächst die Nullstellen von bestimmt, also die Lösungen der Gleichung Diese werden mithilfe eines GTR bestimmt:Der Wertliegt außerhalb des Definitionsbereiches . Außerdem ist bereits bekannt, dass das Maximum bei zwischen und liegt und die Funktion dort positiv ist. Außerdem sind die Werte und negativ, sodass bei und tatsächlich Vorzeichenwechsel stattfinden. Die Funktion ist positiv im Bereich zwischen und , also im Intervall .
Somit hat die Population im Zeitraum vonbis zugenommen. -
Zu Beginn des Jahres 1960 bestand die Population aus
Individuen.
Damit kann der Bestandder Population Jahre später beschrieben werden durch den Term: Der Bestand der Population im Jahr 2017 ist damit gegeben durch:Mithilfe eines GTR kann der Wert des Integrals bestimmt werden und es gilt:Die Anzahl der Individuen war Anfang 2017 also etwa. Erster Zeitpunkt, bei dem die Population wieder auf dem Niveau von 1960 war
Gesucht ist das kleinste
, für das gilt: Diese liefert der GTR:Die Population war also im November 1968 erstmals wieder gleich groß wie 1960. -
Funktionsterm
Gesucht ist eine Funktion
, welche die Körpergröße eines Individuums beschreibt. Ein Ansatz für die Funktion ist gegeben durch: Hierbei beschreibtdie Körpergröße des Individuums in Metern Jahre nach Beobachtungsbeginn. Für die Ableitung gilt: Zu Beobachtungsbeginn ist das Individuumgroß, es gilt also: Die momentane Wachstumsgeschwindigkeit des Individuums zum Beobachtungsbeginn beträgtpro Jahr, also: Im ausgewachsenen Zustand ist das Individuumgroß, es gilt daher: Es gilt alsound damit wegen Nun werden die berechneten Werte in die letzte verbleibende Gleichung eingesetzt:Eine Funktionsgleichung für die Körpergröße des Individuums in Metern abhängig von der Zeit seit Beobachtungsbeginn in Jahren ist alsoAlternativer Weg
Die Körpergröße eines Individuums entwickelt sich nach dem Gesetz des beschänkten Wachstums. Ein Ansatz für eine Funktion, welche die Körpergröße beschreibt, ist gegeben durch wobeidie der Größe des Individuums im ausgewachsenen Zustand und die Größe zu Beobachtungsbeginn beschreibt. Es gilt also: Die momentane Wachstumsgeschwindigkeit zu Beobachtungsbeginn beträgtpro Jahr. Es muss gelten: MitgiltDie Funktionmit beschreibt die Größe des Individuums. Hierbei beschreibtdie Größe in Metern Jahre nach Beobachtungsbeginn. Dauer, bis das Individuum um
gewachsen ist Zu Beobachtungsbeginn ist das Individuum
${{/latex}} groß. Seine Größe hat um zugenommen, wenn es groß ist. Gesucht ist die Lösung der folgenden Gleichung: Das Individuum ist alsoJahre nach Beobachtungsbeginn um ${{/latex}} gewachsen.
Lösung zu Aufgabe A 2.2
Skizze
Zunächst wird eine Skizze angefertigt.
Charakterisierung der Schnittpunkte
Der Kreis um
Nullstellen von
Da
Analyse der Funktion in den Intervallen zwischen den Nullstellen von
Die Funktionswerte von
: Die Funktionswerte von sind überall größer als , und damit gibt es keine Schnittpunkte des Kreises mit dem Graphen von . : Die Funktion nimmt an den Stellen und den Wert an. Der Kreis hat also zwei gemeinsame Punkte mit dem Graphen von . : Die Funktion nimmt den Wert jeweils einmal zwischen und und einmal zwischen und an, sowie für genau einen weiteren Wert von der kleiner als und einen der größer als ist.
Also schneidet der Kreis den Graphen vonin genau vier Punkten. : Die Funktion nimmt den Wert für an, sowie weiterhin für genau einen weiteren Wert von der kleiner als und einen der größer als ist.
Also hat der Kreis mit dem Graphen von vongenau drei gemeinsame Punkte. : Die Funktion nimmt den Wert nur noch für ein an, das größer als ist, sowie eines, das kleiner als ist. Somit hat der Kreis genau zwei Punkte mit dem Graphen von gemeinsam.